Theorem caoprcl 4052

Description: Convert an operation closure law to class notation.

Hypothesis

Ref	Expression
caoprcl.1	|- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)

Assertion

Ref	Expression
caoprcl	|- ((A e. S /\ B e. S) -> (AFB) e. S)

Distinct variable groups:   x,y,F   x,S,y

Proof of Theorem caoprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . 3 |- (z = A -> (zFw) = (AFw))
2	1	eleq1d 1540	. 2 |- (z = A -> ((zFw) e. S <-> (AFw) e. S))
3		opreq2 3969	. . 3 |- (w = B -> (AFw) = (AFB))
4	3	eleq1d 1540	. 2 |- (w = B -> ((AFw) e. S <-> (AFB) e. S))
5		opreq1 3968	. . . 4 |- (x = z -> (xFy) = (zFy))
6	5	eleq1d 1540	. . 3 |- (x = z -> ((xFy) e. S <-> (zFy) e. S))
7		opreq2 3969	. . . 4 |- (y = w -> (zFy) = (zFw))
8	7	eleq1d 1540	. . 3 |- (y = w -> ((zFy) e. S <-> (zFw) e. S))
9		caoprcl.1	. . 3 |- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)
10	6, 8, 9	vtocl2ga 1853	. 2 |- ((z e. S /\ w e. S) -> (zFw) e. S)
11	2, 4, 10	vtocl2ga 1853	1 |- ((A e. S /\ B e. S) -> (AFB) e. S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  ecopoprtrn 4311  eceqopreq 4313  genpcl 5111  genpass 5112  fsumcllem 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain