Theorem caoprord 4048

Description: Convert an operation ordering law to class notation.

Hypotheses

Ref	Expression
caoprord.1	|- A e. V
caoprord.2	|- B e. V
caoprord.3	|- (z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy)))

Assertion

Ref	Expression
caoprord	|- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,S,y,z   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem caoprord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3959	. . . 4 |- (z = C -> (zFA) = (CFA))
2		opreq1 3959	. . . 4 |- (z = C -> (zFB) = (CFB))
3	1, 2	breq12d 2626	. . 3 |- (z = C -> ((zFA)R(zFB) <-> (CFA)R(CFB)))
4	3	bibi2d 617	. 2 |- (z = C -> ((ARB <-> (zFA)R(zFB)) <-> (ARB <-> (CFA)R(CFB))))
5		caoprord.1	. . 3 |- A e. V
6		caoprord.2	. . 3 |- B e. V
7		breq1 2617	. . . . . 6 |- (x = A -> (xRy <-> ARy))
8		opreq2 3960	. . . . . . 7 |- (x = A -> (zFx) = (zFA))
9	8	breq1d 2624	. . . . . 6 |- (x = A -> ((zFx)R(zFy) <-> (zFA)R(zFy)))
10	7, 9	bibi12d 628	. . . . 5 |- (x = A -> ((xRy <-> (zFx)R(zFy)) <-> (ARy <-> (zFA)R(zFy))))
11		breq2 2618	. . . . . 6 |- (y = B -> (ARy <-> ARB))
12		opreq2 3960	. . . . . . 7 |- (y = B -> (zFy) = (zFB))
13	12	breq2d 2625	. . . . . 6 |- (y = B -> ((zFA)R(zFy) <-> (zFA)R(zFB)))
14	11, 13	bibi12d 628	. . . . 5 |- (y = B -> ((ARy <-> (zFA)R(zFy)) <-> (ARB <-> (zFA)R(zFB))))
15	10, 14	sylan9bb 539	. . . 4 |- ((x = A /\ y = B) -> ((xRy <-> (zFx)R(zFy)) <-> (ARB <-> (zFA)R(zFB))))
16	15	imbi2d 611	. . 3 |- ((x = A /\ y = B) -> ((z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy))) <-> (z e. S -> (ARB <-> (zFA)R(zFB)))))
17		caoprord.3	. . 3 |- (z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy)))
18	5, 6, 16, 17	vtocl2 1839	. 2 |- (z e. S -> (ARB <-> (zFA)R(zFB)))
19	4, 18	vtoclga 1848	1 |- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954

This theorem is referenced by:  caoprord2 4049  caoprord3 4050  genpcl 5091

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956

Copyright terms: Public domain