Theorem caoprord2 4063

Description: Operation ordering law with commuted arguments.

Hypotheses

Ref	Expression
caoprord.1	|- A e. V
caoprord.2	|- B e. V
caoprord.3	|- (z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy)))
caoprord2.3	|- C e. V
caoprord2.com	|- (xFy) = (yFx)

Assertion

Ref	Expression
caoprord2	|- (C e. S -> (ARB <-> (AFC)R(BFC)))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,S,y,z   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem caoprord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caoprord.1	. . 3 |- A e. V
2		caoprord.2	. . 3 |- B e. V
3		caoprord.3	. . 3 |- (z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy)))
4	1, 2, 3	caoprord 4062	. 2 |- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))
5		caoprord2.3	. . . 4 |- C e. V
6		caoprord2.com	. . . 4 |- (xFy) = (yFx)
7	5, 1, 6	caoprcom 4059	. . 3 |- (CFA) = (AFC)
8	5, 2, 6	caoprcom 4059	. . 3 |- (CFB) = (BFC)
9	7, 8	breq12i 2633	. 2 |- ((CFA)R(CFB) <-> (AFC)R(BFC))
10	4, 9	syl6bb 538	1 |- (C e. S -> (ARB <-> (AFC)R(BFC)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969

This theorem is referenced by:  caoprord3 4064  ltsopq 5087  ltrpq 5097  genpnmax 5122  addclprlem1 5130  mulclprlem 5133  distrlem4pr 5142  ltexprlem6 5159  reclem3pr 5170  ltsosr 5215  supsrlem3 5239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain