Theorem card1 4981

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton.

Assertion

Ref	Expression
card1	|- ((card` A) = 1o <-> E.x A = {x})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 4278	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
2		df-ne 1630	. . . . . 6 |- (1o =/= (/) <-> -. 1o = (/))
3	1, 2	mpbi 187	. . . . 5 |- -. 1o = (/)
4		eqeq1 1524	. . . . 5 |- ((card` A) = 1o -> ((card` A) = (/) <-> 1o = (/)))
5	3, 4	mtbiri 722	. . . 4 |- ((card` A) = 1o -> -. (card` A) = (/))
6		fvprc 3832	. . . 4 |- (-. A e. V -> (card` A) = (/))
7	5, 6	nsyl2 117	. . 3 |- ((card` A) = 1o -> A e. V)
8		relen 4513	. . . 4 |- Rel ~~
9	8	brrelexi 3291	. . 3 |- (A ~~ 1o -> A e. V)
10		1onn 4393	. . . . 5 |- 1o e. om
11		carden 4979	. . . . 5 |- ((A e. V /\ 1o e. om) -> ((card` A) = (card` 1o) <-> A ~~ 1o))
12	10, 11	mpan2 700	. . . 4 |- (A e. V -> ((card` A) = (card` 1o) <-> A ~~ 1o))
13		cardnn 4970	. . . . . 6 |- (1o e. om -> (card` 1o) = 1o)
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (card` 1o) = 1o
15	14	eqeq2i 1528	. . . 4 |- ((card` A) = (card` 1o) <-> (card` A) = 1o)
16	12, 15	syl5bbr 537	. . 3 |- (A e. V -> ((card` A) = 1o <-> A ~~ 1o))
17	7, 9, 16	pm5.21nii 683	. 2 |- ((card` A) = 1o <-> A ~~ 1o)
18		en1 4567	. 2 |- (A ~~ 1o <-> E.x A = {x})
19	17, 18	bitri 171	1 |- ((card` A) = 1o <-> E.x A = {x})

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016   =/= wne 1628  Vcvv 1857  (/)c0 2332  {csn 2467   class class class wbr 2692  omcom 3218  ` cfv 3263  1oc1o 4264   ~~ cen 4505  cardccrd 4959

This theorem is referenced by:  cardsn 4982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-card 4962

Copyright terms: Public domain