Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardlim Unicode version

Theorem cardlim 7848
 Description: An infinite cardinal is a limit ordinal. Equivalent to Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 91. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardlim

Proof of Theorem cardlim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3362 . . . . . . . . . . 11
21biimpd 199 . . . . . . . . . 10
3 limom 4851 . . . . . . . . . . . 12
4 limsssuc 4821 . . . . . . . . . . . 12
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
6 infensuc 7276 . . . . . . . . . . . 12
76ex 424 . . . . . . . . . . 11
85, 7syl5bir 210 . . . . . . . . . 10
92, 8sylan9r 640 . . . . . . . . 9
10 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
1110adantl 453 . . . . . . . . 9
129, 11sylibrd 226 . . . . . . . 8
1312ex 424 . . . . . . 7
1413com3r 75 . . . . . 6
1514imp 419 . . . . 5
16 vex 2951 . . . . . . . . . 10
1716sucid 4652 . . . . . . . . 9
18 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
1917, 18mpbiri 225 . . . . . . . 8
20 cardidm 7835 . . . . . . . 8
2119, 20syl6eleqr 2526 . . . . . . 7
22 cardne 7841 . . . . . . 7
2321, 22syl 16 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
2515, 24pm2.65d 168 . . . 4
2625nrexdv 2801 . . 3
27 peano1 4855 . . . . . 6
28 ssel 3334 . . . . . 6
2927, 28mpi 17 . . . . 5
30 n0i 3625 . . . . 5
31 cardon 7820 . . . . . . . . 9
3231onordi 4677 . . . . . . . 8
33 ordzsl 4816 . . . . . . . 8
3432, 33mpbi 200 . . . . . . 7
35 3orass 939 . . . . . . 7
3634, 35mpbi 200 . . . . . 6
3736ori 365 . . . . 5
3829, 30, 373syl 19 . . . 4
3938ord 367 . . 3
4026, 39mpd 15 . 2
41 limomss 4841 . 2
4240, 41impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3o 935   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   word 4572  con0 4573   wlim 4574   csuc 4575  com 4836  cfv 5445   cen 7097  ccrd 7811 This theorem is referenced by:  infxpenlem  7884  alephislim  7953  cflim2  8132  winalim  8559  gruina  8682 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-card 7815
 Copyright terms: Public domain W3C validator