MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Unicode version

Theorem cardnn 7806
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 4810 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onenon 7792 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  dom  card )
3 cardid2 7796 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
41, 2, 33syl 19 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  ~~  A )
5 nnfi 7258 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
6 ficardom 7804 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  e. 
om )
8 nneneq 7249 . . 3  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  ~~  A  <->  ( card `  A )  =  A ) )
97, 8mpancom 651 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( card `  A )  ~~  A  <->  ( card `  A
)  =  A ) )
104, 9mpbid 202 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   omcom 4804   dom cdm 4837   ` cfv 5413    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  card1  7811  cardennn  7826  cardsucnn  7828  nnsdomel  7833  pm54.43lem  7842  iscard3  7930  nnacda  8037  ficardun  8038  ficardun2  8039  pwsdompw  8040  ackbij2  8079  sdom2en01  8138  fin23lem22  8163  fin1a2lem9  8244  ficard  8396  cfpwsdom  8415  cardfz  11264  hashgval2  11607  hashdom  11608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782
  Copyright terms: Public domain W3C validator