MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Unicode version

Theorem cardnn 7591
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 4661 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onenon 7577 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  dom  card )
3 cardid2 7581 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
41, 2, 33syl 20 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  ~~  A )
5 nnfi 7048 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
6 ficardom 7589 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  e. 
om )
8 nneneq 7039 . . 3  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  ~~  A  <->  ( card `  A )  =  A ) )
97, 8mpancom 652 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( card `  A )  ~~  A  <->  ( card `  A
)  =  A ) )
104, 9mpbid 203 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   Oncon0 4391   omcom 4655   dom cdm 4688   ` cfv 5221    ~~ cen 6855   Fincfn 6858   cardccrd 7563
This theorem is referenced by:  card1  7596  cardennn  7611  cardsucnn  7613  nnsdomel  7618  pm54.43lem  7627  iscard3  7715  nnacda  7822  ficardun  7823  ficardun2  7824  pwsdompw  7825  ackbij2  7864  sdom2en01  7923  fin23lem22  7948  fin1a2lem9  8029  ficard  8182  cfpwsdom  8201  cardfz  11026  hashgval2  11354  hashdom  11355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-card 7567
  Copyright terms: Public domain W3C validator