MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Unicode version

Theorem cardnn 7529
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 4599 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onenon 7515 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  dom  card )
3 cardid2 7519 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
41, 2, 33syl 20 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  ~~  A )
5 nnfi 6986 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
6 ficardom 7527 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  e. 
om )
8 nneneq 6977 . . 3  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  ~~  A  <->  ( card `  A )  =  A ) )
97, 8mpancom 653 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( card `  A )  ~~  A  <->  ( card `  A
)  =  A ) )
104, 9mpbid 203 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( card `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3963   Oncon0 4329   omcom 4593   dom cdm 4626   ` cfv 4638    ~~ cen 6793   Fincfn 6796   cardccrd 7501
This theorem is referenced by:  card1  7534  cardennn  7549  cardsucnn  7551  nnsdomel  7556  pm54.43lem  7565  iscard3  7653  nnacda  7760  ficardun  7761  ficardun2  7762  pwsdompw  7763  ackbij2  7802  sdom2en01  7861  fin23lem22  7886  fin1a2lem9  7967  ficard  8120  cfpwsdom  8139  cardfz  10963  hashgval2  11291  hashdom  11292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-card 7505
  Copyright terms: Public domain W3C validator