Theorem cardnn 4970

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
cardnn	|- (A e. om -> (card` A) = A)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 4528	. . . 4 |- ((card` A) ~< A -> -. (card` A) ~~ A)
2		nnon 3225	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
3		oncardid 4967	. . . . 5 |- (A e. On -> (card` A) ~~ A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> (card` A) ~~ A)
5	1, 4	nsyl3 118	. . 3 |- (A e. om -> -. (card` A) ~< A)
6		oncardon 4966	. . . . . 6 |- (A e. On -> (card` A) e. On)
7		ordelpss 3003	. . . . . . 7 |- ((Ord (card` A) /\ Ord A) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
8		eloni 2985	. . . . . . 7 |- ((card` A) e. On -> Ord (card` A))
9		eloni 2985	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
10	7, 8, 9	syl2an 456	. . . . . 6 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
11	6, 10	mpancom 709	. . . . 5 |- (A e. On -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
12	2, 11	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
13		cardonle 4968	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (card` A) (_ A)
14		onsseleq 3016	. . . . . . . . 9 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
15	6, 14	mpancom 709	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
16	13, 15	mpbid 193	. . . . . . 7 |- (A e. On -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
17	2, 16	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. om -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
18		elnn 3229	. . . . . . . 8 |- (((card` A) e. A /\ A e. om) -> (card` A) e. om)
19	18	expcom 372	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) e. A -> (card` A) e. om))
20		eleq1a 1586	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) = A -> (card` A) e. om))
21	19, 20	jaod 424	. . . . . 6 |- (A e. om -> (((card` A) e. A \/ (card` A) = A) -> (card` A) e. om))
22	17, 21	mpd 26	. . . . 5 |- (A e. om -> (card` A) e. om)
23		nnsdomo 4668	. . . . 5 |- (((card` A) e. om /\ A e. om) -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
24	22, 23	mpancom 709	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
25	12, 24	bitr4d 534	. . 3 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) ~< A))
26	5, 25	mtbird 720	. 2 |- (A e. om -> -. (card` A) e. A)
27	17	ord 230	. 2 |- (A e. om -> (-. (card` A) e. A -> (card` A) = A))
28	26, 27	mpd 26	1 |- (A e. om -> (card` A) = A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   = wceq 992   e. wcel 994   (_ wss 2099   (. wpss 2100   class class class wbr 2692  Ord word 2974  Oncon0 2975  omcom 3218  ` cfv 3263   ~~ cen 4505   ~< csdm 4507  cardccrd 4959

This theorem is referenced by:  cardsucnn 4971  card1 4981  iscard3 5038  nnacda 5090  nnaun 5091  cardfz 6671  cardennn 11832  ficard 11834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-card 4962

Copyright terms: Public domain