MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardom Unicode version

Theorem cardom 7615
Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cardom  |-  ( card `  om )  =  om

Proof of Theorem cardom
StepHypRef Expression
1 omelon 7343 . . . 4  |-  om  e.  On
2 oncardid 7585 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  ~~  om )
31, 2ax-mp 10 . . 3  |-  ( card `  om )  ~~  om
4 nnsdom 7350 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  ( card `  om )  ~<  om )
5 sdomnen 6886 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  ~<  om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
73, 6mt2 172 . 2  |-  -.  ( card `  om )  e. 
om
8 cardonle 7586 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  C_  om )
91, 8ax-mp 10 . . . 4  |-  ( card `  om )  C_  om
10 cardon 7573 . . . . 5  |-  ( card `  om )  e.  On
1110, 1onsseli 4507 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  C_  om  <->  ( ( card `  om )  e.  om  \/  ( card `  om )  =  om ) )
129, 11mpbi 201 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  \/  ( card ` 
om )  =  om )
1312ori 366 . 2  |-  ( -.  ( card `  om )  e.  om  ->  (
card `  om )  =  om )
147, 13ax-mp 10 1  |-  ( card `  om )  =  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    \/ wo 359    = wceq 1624    e. wcel 1685    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   Oncon0 4392   omcom 4656   ` cfv 5222    ~~ cen 6856    ~< csdm 6858   cardccrd 7564
This theorem is referenced by:  infxpidm2  7640  alephcard  7693  infenaleph  7714  alephval2  8190  pwfseqlem5  8281  cartarlim  25305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-card 7568
  Copyright terms: Public domain W3C validator