MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardom Unicode version

Theorem cardom 7862
Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cardom  |-  ( card `  om )  =  om

Proof of Theorem cardom
StepHypRef Expression
1 omelon 7590 . . . 4  |-  om  e.  On
2 oncardid 7832 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  ~~  om )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( card `  om )  ~~  om
4 nnsdom 7597 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  ( card `  om )  ~<  om )
5 sdomnen 7127 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  ~<  om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
73, 6mt2 172 . 2  |-  -.  ( card `  om )  e. 
om
8 cardonle 7833 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  C_  om )
91, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( card `  om )  C_  om
10 cardon 7820 . . . 4  |-  ( card `  om )  e.  On
1110, 1onsseli 4687 . . 3  |-  ( (
card `  om )  C_  om  <->  ( ( card `  om )  e.  om  \/  ( card `  om )  =  om ) )
129, 11mpbi 200 . 2  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  \/  ( card ` 
om )  =  om )
137, 12mtp-or 1547 1  |-  ( card `  om )  =  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   Oncon0 4573   omcom 4836   ` cfv 5445    ~~ cen 7097    ~< csdm 7099   cardccrd 7811
This theorem is referenced by:  infxpidm2  7887  alephcard  7940  infenaleph  7961  alephval2  8436  pwfseqlem5  8527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815
  Copyright terms: Public domain W3C validator