MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardom Unicode version

Theorem cardom 7573
Description: The set of natural numbers is a cardinal number. Theorem 18.11 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cardom  |-  ( card `  om )  =  om

Proof of Theorem cardom
StepHypRef Expression
1 omelon 7301 . . . 4  |-  om  e.  On
2 oncardid 7543 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  ~~  om )
31, 2ax-mp 10 . . 3  |-  ( card `  om )  ~~  om
4 nnsdom 7308 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  ( card `  om )  ~<  om )
5 sdomnen 6844 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  ~<  om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  ->  -.  ( card ` 
om )  ~~  om )
73, 6mt2 172 . 2  |-  -.  ( card `  om )  e. 
om
8 cardonle 7544 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( card `  om )  C_  om )
91, 8ax-mp 10 . . . 4  |-  ( card `  om )  C_  om
10 cardon 7531 . . . . 5  |-  ( card `  om )  e.  On
1110, 1onsseli 4465 . . . 4  |-  ( (
card `  om )  C_  om  <->  ( ( card `  om )  e.  om  \/  ( card `  om )  =  om ) )
129, 11mpbi 201 . . 3  |-  ( (
card `  om )  e. 
om  \/  ( card ` 
om )  =  om )
1312ori 366 . 2  |-  ( -.  ( card `  om )  e.  om  ->  (
card `  om )  =  om )
147, 13ax-mp 10 1  |-  ( card `  om )  =  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    \/ wo 359    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3113   class class class wbr 3983   Oncon0 4350   omcom 4614   ` cfv 4659    ~~ cen 6814    ~< csdm 6816   cardccrd 7522
This theorem is referenced by:  infxpidm2  7598  alephcard  7651  infenaleph  7672  alephval2  8148  pwfseqlem5  8239  cartarlim  25258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-card 7526
  Copyright terms: Public domain W3C validator