Theorem cardon 4799

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. Unlike Takeuti/Zaring's proposition, we need the Axiom of Choice (in cardval 4798) because of our slightly different definition of of cardinal number.

Assertion

Ref	Expression
cardon	|- (card` A) e. On

Proof of Theorem cardon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardval 4798	. 2 |- (card` A) = |^|{x e. On | x ~~ A}
2		ssrab2 2121	. . 3 |- {x e. On | x ~~ A} (_ On
3		fvex 3717	. . . . 5 |- (card` A) e. V
4	1, 3	eqeltrr 1537	. . . 4 |- |^|{x e. On | x ~~ A} e. V
5		intex 2719	. . . 4 |- ({x e. On | x ~~ A} =/= (/) <-> |^|{x e. On | x ~~ A} e. V)
6	4, 5	mpbir 190	. . 3 |- {x e. On | x ~~ A} =/= (/)
7		oninton 3002	. . 3 |- (({x e. On | x ~~ A} (_ On /\ {x e. On | x ~~ A} =/= (/)) -> |^|{x e. On | x ~~ A} e. On)
8	2, 6, 7	mp2an 695	. 2 |- |^|{x e. On | x ~~ A} e. On
9	1, 8	eqeltr 1536	1 |- (card` A) e. On

Syntax hints:   e. wcel 955   =/= wne 1577  {crab 1640  Vcvv 1802   (_ wss 2037  (/)c0 2270  |^|cint 2523   class class class wbr 2609  Oncon0 2938  ` cfv 3172   ~~ cen 4348  cardccrd 4785

This theorem is referenced by:  oncard 4801  cardne 4802  carden 4803  carddomi 4807  carddom 4808  cardsdom 4809  domtri 4810  cardlim 4823  cardsdomel 4824  iscard 4825  iscard2 4826  cardval2 4827  carduni 4830  cardprc 4833  alephnbtwn 4840  cardaleph 4857  iscard3 4860  alephsson 4866  alephval3 4875  cardcf 4883  cfeq0 4886  cfsuc 4887  cda1en 4898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-en 4351  df-card 4788

Copyright terms: Public domain