MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardon Unicode version

Theorem cardon 7461
Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardon  |-  ( card `  A )  e.  On

Proof of Theorem cardon
StepHypRef Expression
1 cardf2 7460 . 2  |-  card : {
x  |  E. y  e.  On  y  ~~  x }
--> On
2 0elon 4338 . 2  |-  (/)  e.  On
31, 2f0cli 5523 1  |-  ( card `  A )  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510   class class class wbr 3920   Oncon0 4285   ` cfv 4592    ~~ cen 6746   cardccrd 7452
This theorem is referenced by:  isnum3  7471  cardidm  7476  ficardom  7478  cardne  7482  carden2b  7484  cardlim  7489  cardsdomelir  7490  cardsdomel  7491  iscard  7492  iscard2  7493  carddom2  7494  carduni  7498  cardom  7503  cardsdom2  7505  domtri2  7506  cardval2  7508  infxpidm2  7528  dfac8b  7542  numdom  7549  indcardi  7552  alephnbtwn  7582  alephnbtwn2  7583  alephsucdom  7590  cardaleph  7600  iscard3  7604  alephinit  7606  alephsson  7611  alephval3  7621  dfac12r  7656  dfac12k  7657  cardacda  7708  cdanum  7709  pwsdompw  7714  cff  7758  cardcf  7762  cfon  7765  cfeq0  7766  cfsuc  7767  cff1  7768  cfflb  7769  cflim2  7773  cfss  7775  fin1a2lem9  7918  ttukeylem6  8025  ttukeylem7  8026  unsnen  8057  inar1  8277  tskcard  8283  tskuni  8285  gruina  8320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-card 7456
  Copyright terms: Public domain W3C validator