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Theorem carduni 7609
Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
carduni  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Distinct variable group:    x, A
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem carduni
StepHypRef Expression
1 fveq2 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  x )  =  ( card `  y
) )
2 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
31, 2eqeq12d 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( card `  x )  =  x  <->  ( card `  y
)  =  y ) )
43rspcv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  y )  =  y ) )
5 cardon 7572 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
6 eleq1 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  e.  On  <->  y  e.  On ) )
75, 6mpbii 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e.  On )
84, 7syl6com 33 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
98ssrdv 3186 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  A  C_  On )
10 ssonuni 4577 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  C_  On  ->  U. A  e.  On ) )
119, 10syl5 30 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  U. A  e.  On ) )
1211imp 420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  U. A  e.  On )
13 cardonle 7585 . . . 4  |-  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A ) 
C_  U. A )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A ) 
C_  U. A )
15 cardon 7572 . . . . 5  |-  ( card `  U. A )  e.  On
1615onirri 4498 . . . 4  |-  -.  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A )
17 eluni 3831 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  <->  E. y
( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
) )
18 elssuni 3856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
19 ssdomg 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( y  C_  U. A  -> 
y  ~<_  U. A ) )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  C_  U. A  ->  y  ~<_  U. A
) )
2118, 20syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  ~<_  U. A
) )
22 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( card `  y )  =  y )
23 onenon 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  ( card `  y )  e.  dom  card )
245, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  y )  e.  dom  card
2522, 24syl6eqelr 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e. 
dom  card )
26 onenon 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  e.  dom  card )
27 carddom2 7605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\ 
U. A  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2825, 26, 27syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2921, 28sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( card `  y )  C_  ( card `  U. A ) ) )
30 sseq1 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  C_  ( card ` 
U. A ) ) )
3229, 31sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
33 ssel 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( card `  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
3432, 33syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
3534ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( y  e.  A  -> 
( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3635com3r 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
374, 36syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3837com4r 82 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  U. A )  e.  y  ->  (
y  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) ) )
3938imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4039exlimiv 1667 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4117, 40sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4241com13 76 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4342imp 420 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  On  /\ 
A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4412, 43sylancom 650 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4516, 44mtoi 171 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A )
4615onordi 4496 . . . 4  |-  Ord  ( card `  U. A )
47 eloni 4401 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  Ord  U. A )
4812, 47syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  Ord  U. A )
49 ordtri4 4428 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  U. A )  /\  Ord  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5046, 48, 49sylancr 646 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5114, 45, 50mpbir2and 890 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A )  =  U. A )
5251ex 425 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544    C_ wss 3153   U.cuni 3828   class class class wbr 4024   Ord word 4390   Oncon0 4391   dom cdm 4688   ` cfv 5221    ~<_ cdom 6856   cardccrd 7563
This theorem is referenced by:  cardiun  7610  carduniima  7718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-card 7567
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