Theorem carduni 4869

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` U.A) = U.A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem carduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssonunit 3000	. . . . . . 7 |- (A e. B -> (A (_ On -> U.A e. On))
2		fveq2 3730	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (card` x) = (card` y))
3		id 59	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> x = y)
4	2, 3	eqeq12d 1492	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> ((card` x) = x <-> (card` y) = y))
5	4	rcla4v 1876	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` y) = y))
6		cardon 4837	. . . . . . . . . 10 |- (card` y) e. On
7		eleq1 1537	. . . . . . . . . 10 |- ((card` y) = y -> ((card` y) e. On <-> y e. On))
8	6, 7	mpbii 193	. . . . . . . . 9 |- ((card` y) = y -> y e. On)
9	5, 8	syl6com 53	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A (card` x) = x -> (y e. A -> y e. On))
10	9	ssrdv 2073	. . . . . . 7 |- (A.x e. A (card` x) = x -> A (_ On)
11	1, 10	syl5 21	. . . . . 6 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> U.A e. On))
12	11	imp 350	. . . . 5 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> U.A e. On)
13		cardonle 4832	. . . . 5 |- (U.A e. On -> (card` U.A) (_ U.A)
14	12, 13	syl 10	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> (card` U.A) (_ U.A)
15		elirr 4608	. . . . 5 |- -. (card` U.A) e. (card` U.A)
16		eluni 2510	. . . . . . . 8 |- ((card` U.A) e. U.A <-> E.y((card` U.A) e. y /\ y e. A))
17		uniexg 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A e. B -> U.A e. V)
18		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. V
19		carddom 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. V /\ U.A e. V) -> ((card` y) (_ (card` U.A) <-> y ~<_ U.A))
20	18, 19	mpan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (U.A e. V -> ((card` y) (_ (card` U.A) <-> y ~<_ U.A))
21	20	bicomd 523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U.A e. V -> (y ~<_ U.A <-> (card` y) (_ (card` U.A)))
22	17, 21	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. B -> (y ~<_ U.A <-> (card` y) (_ (card` U.A)))
23		sseq1 2085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((card` y) = y -> ((card` y) (_ (card` U.A) <-> y (_ (card` U.A)))
24	22, 23	sylan9bb 542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y ~<_ U.A <-> y (_ (card` U.A)))
25		elssuni 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. A -> y (_ U.A)
26		ssdomg 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. V -> (y (_ U.A -> y ~<_ U.A))
27	18, 26	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y (_ U.A -> y ~<_ U.A)
28	25, 27	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. A -> y ~<_ U.A)
29	24, 28	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y e. A -> y (_ (card` U.A)))
30		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y (_ (card` U.A) -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))
31	29, 30	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y e. A -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
32	31	ex 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. B -> ((card` y) = y -> (y e. A -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
33	32	com13 33	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. A -> ((card` y) = y -> (A e. B -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
34	5, 33	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
35	34	com4r 41	. . . . . . . . . 10 |- ((card` U.A) e. y -> (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
36	35	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((card` U.A) e. y /\ y e. A) -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
37	36	19.23aiv 1297	. . . . . . . 8 |- (E.y((card` U.A) e. y /\ y e. A) -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
38	16, 37	sylbi 199	. . . . . . 7 |- ((card` U.A) e. U.A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
39	38	com13 33	. . . . . 6 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> ((card` U.A) e. U.A -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
40	39	imp 350	. . . . 5 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) e. U.A -> (card` U.A) e. (card` U.A)))
41	15, 40	mtoi 107	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> -. (card` U.A) e. U.A)
42	14, 41	jca 288	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A))
43		eloni 2964	. . . 4 |- (U.A e. On -> Ord U.A)
44		cardon 4837	. . . . . 6 |- (card` U.A) e. On
45	44	onord 3101	. . . . 5 |- Ord (card` U.A)
46		ordtri4 2990	. . . . 5 |- ((Ord (card` U.A) /\ Ord U.A) -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
47	45, 46	mpan 697	. . . 4 |- (Ord U.A -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
48	12, 43, 47	3syl 20	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
49	42, 48	mpbird 196	. 2 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> (card` U.A) = U.A)
50	49	ex 373	1 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` U.A) = U.A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  Ord word 2953  Oncon0 2954  ` cfv 3188   ~<_ cdom 4371  cardccrd 4823

This theorem is referenced by:  cardiun 4870  carduniima 4901

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-card 4826

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