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Theorem carduni 7568
Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
carduni  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem carduni
StepHypRef Expression
1 fveq2 5444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  x )  =  ( card `  y
) )
2 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
31, 2eqeq12d 2270 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( card `  x )  =  x  <->  ( card `  y
)  =  y ) )
43rcla4v 2848 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  y )  =  y ) )
5 cardon 7531 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
6 eleq1 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  e.  On  <->  y  e.  On ) )
75, 6mpbii 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e.  On )
84, 7syl6com 33 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
98ssrdv 3146 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  A  C_  On )
10 ssonuni 4536 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  C_  On  ->  U. A  e.  On ) )
119, 10syl5 30 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  U. A  e.  On ) )
1211imp 420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  U. A  e.  On )
13 cardonle 7544 . . . 4  |-  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A ) 
C_  U. A )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A ) 
C_  U. A )
15 cardon 7531 . . . . 5  |-  ( card `  U. A )  e.  On
1615onirri 4457 . . . 4  |-  -.  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A )
17 eluni 3790 . . . . . . . 8  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  <->  E. y
( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
) )
18 elssuni 3815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
19 ssdomg 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( y  C_  U. A  -> 
y  ~<_  U. A ) )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  C_  U. A  ->  y  ~<_  U. A
) )
2118, 20syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  ~<_  U. A
) )
22 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( card `  y )  =  y )
23 onenon 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  ( card `  y )  e.  dom  card )
245, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  y )  e.  dom  card
2522, 24syl6eqelr 2345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  y  e. 
dom  card )
26 onenon 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  e.  dom  card )
27 carddom2 7564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\ 
U. A  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2825, 26, 27syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  ~<_  U. A ) )
2921, 28sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( card `  y )  C_  ( card `  U. A ) ) )
30 sseq1 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( (
card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( ( card `  y )  C_  ( card `  U. A )  <-> 
y  C_  ( card ` 
U. A ) ) )
3229, 31sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  y  C_  ( card `  U. A ) ) )
33 ssel 3135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( card `  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
3432, 33syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  y
)  =  y  /\  U. A  e.  On )  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
3534ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( y  e.  A  -> 
( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3635com3r 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( card `  y )  =  y  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
374, 36syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  ( ( card `  U. A )  e.  y  ->  ( card `  U. A )  e.  (
card `  U. A ) ) ) ) )
3837com4r 82 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  U. A )  e.  y  ->  (
y  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) ) )
3938imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4039exlimiv 2024 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( card `  U. A )  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( U. A  e.  On  ->  (
card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4117, 40sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( A. x  e.  A  ( card `  x
)  =  x  -> 
( U. A  e.  On  ->  ( card ` 
U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4241com13 76 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  On  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( (
card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) ) )
4342imp 420 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  On  /\ 
A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4412, 43sylancom 651 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  e.  U. A  -> 
( card `  U. A )  e.  ( card `  U. A ) ) )
4516, 44mtoi 171 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A )
4615onordi 4455 . . . 4  |-  Ord  ( card `  U. A )
47 eloni 4360 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  Ord  U. A )
4812, 47syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  Ord  U. A )
49 ordtri4 4387 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  U. A )  /\  Ord  U. A )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5046, 48, 49sylancr 647 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  (
( card `  U. A )  =  U. A  <->  ( ( card `  U. A ) 
C_  U. A  /\  -.  ( card `  U. A )  e.  U. A ) ) )
5114, 45, 50mpbir2and 893 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  (
card `  x )  =  x )  ->  ( card `  U. A )  =  U. A )
5251ex 425 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( card `  x )  =  x  ->  ( card `  U. A )  = 
U. A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3113   U.cuni 3787   class class class wbr 3983   Ord word 4349   Oncon0 4350   dom cdm 4647   ` cfv 4659    ~<_ cdom 6815   cardccrd 7522
This theorem is referenced by:  cardiun  7569  carduniima  7677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-card 7526
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