Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catciso Structured version   Unicode version

Theorem catciso 14293
 Description: A functor is an isomorphism of categories if and only if it is full and faithful, and is a bijection on the objects. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catciso.c CatCat
catciso.b
catciso.r
catciso.s
catciso.u
catciso.x
catciso.y
catciso.i
Assertion
Ref Expression
catciso Full Faith

Proof of Theorem catciso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 14090 . . . . 5
2 catciso.b . . . . . . . . . . . . . 14
3 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14 Inv Inv
4 catciso.u . . . . . . . . . . . . . . 15
5 catciso.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 CatCat
65catccat 14290 . . . . . . . . . . . . . . 15
74, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8 catciso.x . . . . . . . . . . . . . 14
9 catciso.y . . . . . . . . . . . . . 14
10 catciso.i . . . . . . . . . . . . . 14
112, 3, 7, 8, 9, 10isoval 14021 . . . . . . . . . . . . 13 Inv
1211eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . 12 Inv
1312biimpa 472 . . . . . . . . . . 11 Inv
147adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
158adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
169adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
172, 3, 14, 15, 16invfun 14020 . . . . . . . . . . . 12 Inv
18 funfvbrb 5872 . . . . . . . . . . . 12 Inv Inv InvInv
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11 Inv InvInv
2013, 19mpbid 203 . . . . . . . . . 10 InvInv
21 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11 Sect Sect
222, 3, 14, 15, 16, 21isinv 14016 . . . . . . . . . 10 InvInv SectInv InvSect
2320, 22mpbid 203 . . . . . . . . 9 SectInv InvSect
2423simpld 447 . . . . . . . 8 SectInv
25 eqid 2442 . . . . . . . . 9
26 eqid 2442 . . . . . . . . 9 comp comp
27 eqid 2442 . . . . . . . . 9
282, 25, 26, 27, 21, 14, 15, 16issect 14010 . . . . . . . 8 SectInv Inv Inv comp
2924, 28mpbid 203 . . . . . . 7 Inv Inv comp
3029simp1d 970 . . . . . 6
315, 2, 4, 25, 8, 9catchom 14285 . . . . . . 7
3231adantr 453 . . . . . 6
3330, 32eleqtrd 2518 . . . . 5
34 1st2nd 6422 . . . . 5
351, 33, 34sylancr 646 . . . 4
36 1st2ndbr 6425 . . . . . . 7
371, 33, 36sylancr 646 . . . . . 6
38 catciso.r . . . . . . . . . 10
39 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
40 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
4137adantr 453 . . . . . . . . . 10
42 simprl 734 . . . . . . . . . 10
43 simprr 735 . . . . . . . . . 10
4438, 39, 40, 41, 42, 43funcf2 14096 . . . . . . . . 9
45 catciso.s . . . . . . . . . . 11
46 relfunc 14090 . . . . . . . . . . . . 13
4729simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . 14 Inv
485, 2, 4, 25, 9, 8catchom 14285 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
5047, 49eleqtrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13 Inv
51 1st2ndbr 6425 . . . . . . . . . . . . 13 Inv Inv Inv
5246, 50, 51sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12 Inv Inv
5352adantr 453 . . . . . . . . . . 11 Inv Inv
5438, 45, 41funcf1 14094 . . . . . . . . . . . 12
5554, 42ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . 11
5654, 43ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . 11
5745, 40, 39, 53, 55, 56funcf2 14096 . . . . . . . . . 10 Inv Inv Inv
58 eqidd 2443 . . . . . . . . . . 11
5929simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Inv comp
604adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
615, 2, 60, 26, 15, 16, 15, 33, 50catcco 14287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Inv comp Inv func
62 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 idfunc idfunc
635, 2, 27, 62, 4, 8catcid 14289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 idfunc
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 idfunc
6559, 61, 643eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Inv func idfunc
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 Inv func idfunc
6766fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14 Inv func idfunc
6867fveq1d 5759 . . . . . . . . . . . . 13 Inv func idfunc
6933adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
7050adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 Inv
7138, 69, 70, 42cofu1 14112 . . . . . . . . . . . . 13 Inv func Inv
725, 2, 4catcbas 14283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 inss2 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 73syl6eqss 3384 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574, 8sseldd 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
7762, 38, 76, 42idfu1 14108 . . . . . . . . . . . . 13 idfunc
7868, 71, 773eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . 12 Inv
7967fveq1d 5759 . . . . . . . . . . . . 13 Inv func idfunc
8038, 69, 70, 43cofu1 14112 . . . . . . . . . . . . 13 Inv func Inv
8162, 38, 76, 43idfu1 14108 . . . . . . . . . . . . 13 idfunc
8279, 80, 813eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . 12 Inv
8378, 82oveq12d 6128 . . . . . . . . . . 11 Inv Inv
8458, 83feq23d 5617 . . . . . . . . . 10 Inv Inv Inv Inv
8557, 84mpbid 203 . . . . . . . . 9 Inv
8623simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 InvSect
872, 25, 26, 27, 21, 14, 16, 15issect 14010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 InvSect Inv compInv
8886, 87mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15 Inv compInv
8988simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . 14 compInv
905, 2, 60, 26, 16, 15, 16, 50, 33catcco 14287 . . . . . . . . . . . . . 14 compInv func Inv
91 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 idfunc idfunc
925, 2, 27, 91, 4, 9catcid 14289 . . . . . . . . . . . . . . 15 idfunc
9392adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 idfunc
9489, 90, 933eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . . 13 func Inv idfunc
9594adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 func Inv idfunc
9695fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11 func Inv idfunc
9796oveqd 6127 . . . . . . . . . 10 func Inv idfunc
9845, 70, 69, 55, 56cofu2nd 14113 . . . . . . . . . . 11 func Inv InvInv Inv
9978, 82oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . 12 InvInv
10099coeq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 InvInv Inv Inv
10198, 100eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10 func Inv Inv
10274ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
1039ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103sseldd 3335 . . . . . . . . . . 11
10591, 45, 104, 40, 55, 56idfu2nd 14105 . . . . . . . . . 10 idfunc
10697, 101, 1053eqtr3d 2482 . . . . . . . . 9 Inv
10766fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11 Inv func idfunc
108107oveqd 6127 . . . . . . . . . 10 Inv func idfunc
10938, 69, 70, 42, 43cofu2nd 14113 . . . . . . . . . 10 Inv func Inv
11062, 38, 76, 39, 42, 43idfu2nd 14105 . . . . . . . . . 10 idfunc
111108, 109, 1103eqtr3d 2482 . . . . . . . . 9 Inv
112 fcof1o 6055 . . . . . . . . 9 Inv Inv Inv Inv
11344, 85, 106, 111, 112syl22anc 1186 . . . . . . . 8 Inv
114113simpld 447 . . . . . . 7
115114ralrimivva 2804 . . . . . 6
11638, 39, 40isffth2 14144 . . . . . 6 Full Faith
11737, 115, 116sylanbrc 647 . . . . 5 Full Faith
118 df-br 4238 . . . . 5 Full Faith Full Faith
119117, 118sylib 190 . . . 4 Full Faith
12035, 119eqeltrd 2516 . . 3 Full Faith
12138, 45, 37funcf1 14094 . . . . 5
12245, 38, 52funcf1 14094 . . . . 5 Inv
12394fveq2d 5761 . . . . . 6 func Inv idfunc
12445, 50, 33cofu1st 14111 . . . . . 6 func Inv Inv
12574, 9sseldd 3335 . . . . . . . 8
126125adantr 453 . . . . . . 7
12791, 45, 126idfu1st 14107 . . . . . 6 idfunc
128123, 124, 1273eqtr3d 2482 . . . . 5 Inv
12965fveq2d 5761 . . . . . 6 Inv func idfunc
13038, 33, 50cofu1st 14111 . . . . . 6 Inv func Inv
13175adantr 453 . . . . . . 7
13262, 38, 131idfu1st 14107 . . . . . 6 idfunc
133129, 130, 1323eqtr3d 2482 . . . . 5 Inv
134 fcof1o 6055 . . . . 5 Inv Inv Inv Inv
135121, 122, 128, 133, 134syl22anc 1186 . . . 4 Inv
136135simpld 447 . . 3
137120, 136jca 520 . 2 Full Faith
1387adantr 453 . . 3 Full Faith
1398adantr 453 . . 3 Full Faith
1409adantr 453 . . 3 Full Faith
141 inss1 3546 . . . . . . 7 Full Faith Full
142 fullfunc 14134 . . . . . . 7 Full
143141, 142sstri 3343 . . . . . 6 Full Faith
144 simprl 734 . . . . . 6 Full Faith Full Faith
145143, 144sseldi 3332 . . . . 5 Full Faith
1461, 145, 34sylancr 646 . . . 4 Full Faith
1474adantr 453 . . . . 5 Full Faith
148 eqid 2442 . . . . 5
149146, 144eqeltrrd 2517 . . . . . 6 Full Faith Full Faith
150149, 118sylibr 205 . . . . 5 Full Faith Full Faith
151 simprr 735 . . . . 5 Full Faith
1525, 2, 38, 45, 147, 139, 140, 3, 148, 150, 151catcisolem 14292 . . . 4 Full Faith Inv
153146, 152eqbrtrd 4257 . . 3 Full Faith Inv
1542, 3, 138, 139, 140, 10, 153inviso1 14022 . 2 Full Faith
155137, 154impbida 807 1 Full Faith
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711   cin 3305   wss 3306  cop 3841   class class class wbr 4237   cid 4522  ccnv 4906   cdm 4907   cres 4909   ccom 4911   wrel 4912   wfun 5477  wf 5479  wf1o 5482  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmpt2 6112  c1st 6376  c2nd 6377  cbs 13500   chom 13571  compcco 13572  ccat 13920  ccid 13921  Sectcsect 14001  Invcinv 14002   ciso 14003   cfunc 14082  idfunccidfu 14083   func ccofu 14084   Full cful 14130   Faith cfth 14131  CatCatccatc 14280 This theorem is referenced by:  yoniso  14413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-hom 13584  df-cco 13585  df-cat 13924  df-cid 13925  df-sect 14004  df-inv 14005  df-iso 14006  df-func 14086  df-idfu 14087  df-cofu 14088  df-full 14132  df-fth 14133  df-catc 14281
 Copyright terms: Public domain W3C validator