Theorem cau2 6865

Description: Two ways to express that a sequence meets the Cauchy criterion. Remark in [Gleason] p. 181. R can be either < or <_.

Hypotheses

Ref	Expression
cau2.1	|- F:NN-->CC
cau2.2	|- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))

Assertion

Ref	Expression
cau2	|- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Distinct variable groups:   x,y,z   y,R,z

Proof of Theorem cau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau2.2	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (0 < x -> 0Rx))
2	1	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0Rx)
3		fveq2 3719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> (F` y) = (F` z))
4	3	opreq2d 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> ((F` z) - (F` y)) = ((F` z) - (F` z)))
5		cau2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F:NN-->CC
6	5	ffvelrni 3810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. NN -> (F` z) e. CC)
7		subidt 5378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` z) e. CC -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. NN -> ((F` z) - (F` z)) = 0)
9	4, 8	sylan9eqr 1527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((F` z) - (F` y)) = 0)
10	9	fveq2d 3723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = (abs` 0))
11		abs0 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (abs` 0) = 0
12	10, 11	syl6eq 1521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) = 0)
13	12	breq1d 2625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. NN /\ y = z) -> ((abs` ((F` z) - (F` y)))Rx <-> 0Rx))
14	13	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . 12 |- (0Rx -> ((z e. NN /\ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
15	14	exp3a 375	. . . . . . . . . . 11 |- (0Rx -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
16	2, 15	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (z e. NN -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
17	16	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
18	17	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))
19	18	biantrud 725	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
20		jaob 422	. . . . . . 7 |- (((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) /\ (y = z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
21	19, 20	syl6bbr 537	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
22		leloet 5501	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
23		nnret 5887	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. RR)
24		nnret 5887	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z e. RR)
25	22, 23, 24	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((y e. NN /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
26	25	adantll 392	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (y <_ z <-> (y < z \/ y = z)))
27	26	imbi1d 612	. . . . . 6 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> ((y < z \/ y = z) -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
28	21, 27	bitr4d 530	. . . . 5 |- ((((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> ((y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
29	28	ralbidva 1657	. . . 4 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ y e. NN) -> (A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
30	29	rexbidva 1658	. . 3 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))
31	30	pm5.74da 585	. 2 |- (x e. RR -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx))))
32	31	ralbiia 1671	1 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (abs` ((F` z) - (F` y)))Rx)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E.wrex 1644   class class class wbr 2615  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217   - cmin 5275   <_ cle 5278  NNcn 5279   < clt 5469  abscabs 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700

Copyright terms: Public domain