Theorem cau3i 6859

Description: A relationship used to derive two ways to express a Cauchy sequence.

Hypothesis

Ref	Expression
cau3i.1	|- Z (_ ZZ

Assertion

Ref	Expression
cau3i	|- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   ph,m   j,m,W   j,k,Z,m

Proof of Theorem cau3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 969	. . . . . . . 8 |- ((m <_ m /\ m <_ k) -> A.j(m <_ m /\ m <_ k))
2		hbs1 1330	. . . . . . . 8 |- ([m / j]ph -> A.j[m / j]ph)
3	1, 2	hbim 1005	. . . . . . 7 |- (((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph) -> A.j((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph))
4		breq2 2618	. . . . . . . . 9 |- (j = m -> (m <_ j <-> m <_ m))
5	4	anbi1d 616	. . . . . . . 8 |- (j = m -> ((m <_ j /\ m <_ k) <-> (m <_ m /\ m <_ k)))
6		sbequ12 1179	. . . . . . . 8 |- (j = m -> (ph <-> [m / j]ph))
7	5, 6	imbi12d 625	. . . . . . 7 |- (j = m -> (((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> ((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph)))
8	3, 7	rcla4 1867	. . . . . 6 |- (m e. Z -> (A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> ((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph)))
9		cau3i.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z (_ ZZ
10		zssre 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ (_ RR
11	9, 10	sstri 2069	. . . . . . . . . 10 |- Z (_ RR
12	11	sseli 2061	. . . . . . . . 9 |- (m e. Z -> m e. RR)
13		leidt 5512	. . . . . . . . 9 |- (m e. RR -> m <_ m)
14	12, 13	syl 10	. . . . . . . 8 |- (m e. Z -> m <_ m)
15	14	biantrurd 726	. . . . . . 7 |- (m e. Z -> (m <_ k <-> (m <_ m /\ m <_ k)))
16	15	imbi1d 612	. . . . . 6 |- (m e. Z -> ((m <_ k -> [m / j]ph) <-> ((m <_ m /\ m <_ k) -> [m / j]ph)))
17	8, 16	sylibrd 204	. . . . 5 |- (m e. Z -> (A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> (m <_ k -> [m / j]ph)))
18	17	r19.20sdv 1707	. . . 4 |- (m e. Z -> (A.k e. W A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph)))
19		ralcom 1771	. . . 4 |- (A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) <-> A.k e. W A.j e. Z ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph))
20	18, 19	syl5ib 206	. . 3 |- (m e. Z -> (A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph)))
21	20	r19.22i 1729	. 2 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph))
22		ax-17 969	. . 3 |- (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> A.mA.k e. W (j <_ k -> ph))
23		ax-17 969	. . . 4 |- (k e. W -> A.j k e. W)
24		ax-17 969	. . . . 5 |- (m <_ k -> A.j m <_ k)
25	24, 2	hbim 1005	. . . 4 |- ((m <_ k -> [m / j]ph) -> A.j(m <_ k -> [m / j]ph))
26	23, 25	hbral 1683	. . 3 |- (A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph) -> A.jA.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph))
27		breq1 2617	. . . . 5 |- (j = m -> (j <_ k <-> m <_ k))
28	27, 6	imbi12d 625	. . . 4 |- (j = m -> ((j <_ k -> ph) <-> (m <_ k -> [m / j]ph)))
29	28	ralbidv 1660	. . 3 |- (j = m -> (A.k e. W (j <_ k -> ph) <-> A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph)))
30	22, 26, 29	cbvrex 1795	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph) <-> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> [m / j]ph))
31	21, 30	sylibr 200	1 |- (E.m e. Z A.j e. Z A.k e. W ((m <_ j /\ m <_ k) -> ph) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  [wsbc 1168  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  RRcr 5213   <_ cle 5275  ZZcz 5278

This theorem is referenced by:  cau3 6861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-enr 5146  df-nr 5147  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-lt 5227  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-z 6091

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