MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucfil Unicode version

Theorem caucfil 18725
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caucfil.2  |-  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )
Assertion
Ref Expression
caucfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  L  e.  (CauFil `  D ) ) )

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables  j 
k  m  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 936 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
43adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
5 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : Z
--> X )
6 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  dom  F  =  Z )
84, 7eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  dom  F )
9 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
105, 4, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
118, 10jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )
1211biantrurd 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
13 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
1514sseld 3192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
1615pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
) ) )
1716imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
18 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
1917, 18syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) ) )
2019ralbidv2 2578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
2112, 20bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
221, 21syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
2322ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
24 r19.26-2 2689 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
25 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  k  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
26 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  k  ->  ( F `  u )  =  ( F `  k ) )
2726oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  k  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 m ) D ( F `  k
) ) )
2827breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  k  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
2925, 28imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  k  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
3029cbvralv 2777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  j ) ( u  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )
3130ralbii 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. u  e.  ( ZZ>= `  j )
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  k )
)
3332eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  u  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
34 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
3534oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  u
) ) )
3635breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  < 
x ) )
3733, 36imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( u  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x ) ) )
38 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
u  e.  ( ZZ>= `  k )  <->  m  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
39 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  m  ->  ( F `  u )  =  ( F `  m ) )
4039oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  m  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 u ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )
4140breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
4238, 41imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  m  ->  (
( u  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  u ) )  <  x )  <-> 
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
4337, 42cbvral2v 2785 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. u  e.  ( ZZ>= `  j )
( u  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  u ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
44 ralcom 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
4531, 43, 443bitr3i 266 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
4645anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) ) )
47 anidm 625 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
4824, 46, 473bitr2i 264 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
49 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
50 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  F : Z --> X )
512uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  Z )
5251ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  m  e.  Z )
53 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> X  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  X )
5450, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  m )  e.  X )
5510adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
56 xmetsym 17928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 m ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )
5749, 54, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  m
) D ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )
5857breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
5958imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
6059anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) ) )
61 jaob 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) ) )
62 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  k  e.  ZZ )
63 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
64 uztric 10265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
6562, 63, 64syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ) )
6665adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
67 pm5.5 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
( m  e.  (
ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  \/  k  e.  ( ZZ>=
`  m ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
)  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
6961, 68syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
7060, 69bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  ( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
71702ralbidva 2596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( m  e.  ( ZZ>= `  k )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  /\  ( k  e.  (
ZZ>= `  m )  -> 
( ( F `  m ) D ( F `  k ) )  <  x ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7248, 71syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( m  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7323, 72bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7473rexbidva 2573 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
75 uzf 10249 . . . . . 6  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
76 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7775, 76ax-mp 8 . . . . 5  |-  ZZ>=  Fn  ZZ
78 uzssz 10263 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
792, 78eqsstri 3221 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
80 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
8180raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8281rexima 5773 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  Z  C_  ZZ )  ->  ( E. u  e.  ( ZZ>=
" Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8377, 79, 82mp2an 653 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )
8474, 83syl6bbr 254 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
8584ralbidv 2576 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
86 elfvdm 5570 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
8786adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  X  e.  dom  * Met )
88 cnex 8834 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
8987, 88jctir 524 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( X  e. 
dom  * Met  /\  CC  e.  _V ) )
90 zsscn 10048 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
9179, 90sstri 3201 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
9291jctr 526 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
93 elpm2r 6804 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
9489, 92, 93syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F : Z
--> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
95 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
96 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
972, 95, 96iscau3 18720 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
9897baibd 875 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
9994, 98syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M  e.  ZZ )  /\  F : Z
--> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
100993impa 1146 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) )
101 caucfil.2 . . . 4  |-  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )
102101eleq1i 2359 . . 3  |-  ( L  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( ZZ>=
" Z ) )  e.  (CauFil `  D
) )
1032uzfbas 17609 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )
104 fmcfil 18714 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ZZ>= " Z
)  e.  ( fBas `  Z )  /\  F : Z --> X )  -> 
( ( ( X 
FilMap  F ) `  ( ZZ>=
" Z ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
105103, 104syl3an2 1216 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  ( ZZ>= " Z ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
106102, 105syl5bb 248 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( L  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. u  e.  ( ZZ>= " Z ) A. k  e.  u  A. m  e.  u  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
10785, 100, 1063bitr4d 276 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M  e.  ZZ  /\  F : Z --> X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D
)  <->  L  e.  (CauFil `  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751    < clt 8883   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   fBascfbas 17534    FilMap cfm 17644  CauFilccfil 18694   Caucca 18695
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  18730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-rest 13343  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-cfil 18697  df-cau 18698
  Copyright terms: Public domain W3C validator