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Theorem caucvg 12146
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
caucvg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
caucvg.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
caucvg.4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
Assertion
Ref Expression
caucvg  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    ph, j, k, x   
j, Z, k, x
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    V( x, j, k)

Proof of Theorem caucvg
StepHypRef Expression
1 fveq2 5486 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
21cbvmptv 4113 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 uzssz 10243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
53, 4eqsstri 3210 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  ZZ
6 zssre 10027 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
75, 6sstri 3190 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  RR
87a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  C_  RR )
9 caucvg.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
102eqcomi 2289 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
119, 10fmptd 5646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) : Z --> CC )
12 1rp 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
13 ne0i 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
1412, 13ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  =/=  (/)
15 caucvg.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
16 r19.2z 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
1714, 15, 16sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
18 eluzel2 10231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1918, 3eleq2s 2377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
2019a1d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  M  e.  ZZ ) )
2120rexlimiv 2663 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  M  e.  ZZ )
2221rexlimivw 2665 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  M  e.  ZZ )
2317, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
243uzsup 10962 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
265sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
275sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
28 eluz 10237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
2926, 27, 28syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
3029biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
31 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
32 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )
33 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3431, 32, 33fvmpt3i 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
35 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
3635, 32, 33fvmpt3i 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
)  =  ( F `
 j ) )
3734, 36oveqan12rd 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )
3837fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
3938breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4039biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
4130, 40imim12d 70 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) )
4241ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  Z  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) ) )
4342com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) ) )
4443ralimdv2 2625 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) ) )
4544reximia 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  k )  -  (
( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
4645ralimi 2620 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) )
4715, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) `  k
)  -  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) `  j ) ) )  <  x
) )
488, 11, 25, 47caucvgr 12143 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) )  e.  dom  ~~> r  )
4911, 25rlimdm 12020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  e. 
dom 
~~> r  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) ) ) )
5048, 49mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) ) )
512, 50syl5eqbr 4058 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) ) )
52 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
539, 52fmptd 5646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) : Z --> CC )
543, 23, 53rlimclim 12015 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) ) )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) ) ) )
5551, 54mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) ) )
56 caucvg.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
573, 52climmpt 12040 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  (  ~~> r  `  (
n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
5823, 56, 57syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  (  ~~> r  `  (
n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) ) ) )
5955, 58mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  (  ~~> r  `  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) ) )
60 climrel 11961 . . 3  |-  Rel  ~~>
6160releldmi 4915 . 2  |-  ( F  ~~>  (  ~~> r  `  (
n  e.  Z  |->  ( F `  n ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
6259, 61syl 17 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4689   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   supcsup 7189   CCcc 8731   RRcr 8732   1c1 8734    +oocpnf 8860   RR*cxr 8862    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   RR+crp 10350   abscabs 11714    ~~> cli 11953    ~~> r crli 11954
This theorem is referenced by:  caucvgb  12147  cvgcmpce  12271  ulmcau  19767  dchrisumlem3  20635  rrncmslem  25956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10657  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958
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