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Theorem caucvgb 12148
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caucvgb  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x    k, V
Dummy variables  i  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution groups:    V( x, j)

Proof of Theorem caucvgb
StepHypRef Expression
1 eldm2g 4876 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 234 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
3 df-br 4027 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  m  <->  <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  M  e.  ZZ )
6 1rp 10355 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
76a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  1  e.  RR+ )
8 eqidd 2287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  F  ~~>  m )
104, 5, 7, 8, 9climi 11980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 ) )
11 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1211ralimi 2621 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1312reximi 2653 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1410, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
1514ex 425 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  m  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
163, 15syl5bir 211 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
1716exlimdv 1667 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
182, 17syl5 30 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
19 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
2019ralimi 2621 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2120reximi 2653 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2221ralimi 2621 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )
23 fveq2 5487 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  n )
)
2423raleqdv 2745 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2524cbvrexv 2768 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2625a1i 12 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2726rspcv 2883 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )
286, 22, 27mpsyl 61 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2928a1i 12 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
30 eluzelz 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
3130, 4eleq2s 2378 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
32 eqid 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
3332climcau 12140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3431, 33sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3532r19.29uz 11830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
3635ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
3736ralimdv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
3834, 37mpan9 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039adantll 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
41 simplrr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
42 fveq2 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
4342eleq1d 2352 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
4443rspccva 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  m )  e.  CC )
4541, 44sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
46 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ralimi 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4842oveq1d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )
4948fveq2d 5491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) ) )
5049breq1d 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
5150cbvralv 2767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5247, 51sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
5352reximi 2653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5453ralimi 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
5554adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
56 fveq2 5487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  i )
)
57 fveq2 5487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  j )  =  ( F `  i ) )
5857oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  i ) ) )
5958fveq2d 5491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) ) )
6059breq1d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x
) )
6156, 60raleqbidv 2751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x ) )
6261cbvrexv 2768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  x )
63 breq2 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  y
) )
6463rexralbidv 2590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6562, 64syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6665cbvralv 2767 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
6755, 66sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
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<-> 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1687   A.wral 2546   E.wrex 2547   <.cop 3646   class class class wbr 4026   dom cdm 4690   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   1c1 8735    < clt 8864    - cmin 9034   ZZcz 10021   ZZ>=cuz 10227   RR+crp 10351   abscabs 11715    ~~> cli 11954
This theorem is referenced by:  serf0  12149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-pm 6772  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-rp 10352  df-ico 10658  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959
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