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Theorem caucvgb 12082
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caucvgb  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x    k, V
Allowed substitution hints:    V( x, j)

Proof of Theorem caucvgb
StepHypRef Expression
1 eldm2g 4828 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 234 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
3 df-br 3964 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  m  <->  <. F ,  m >.  e.  ~~>  )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  M  e.  ZZ )
6 1rp 10290 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
76a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  1  e.  RR+ )
8 eqidd 2257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  F  ~~>  m )
104, 5, 7, 8, 9climi 11914 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 ) )
11 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  m ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1211ralimi 2589 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1312reximi 2621 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  m ) )  <  1 )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
1410, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  F  ~~>  m )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
1514ex 425 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  m  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
163, 15syl5bir 211 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
1716exlimdv 1933 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. m <. F ,  m >.  e.  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
182, 17syl5 30 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
19 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
2019ralimi 2589 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2120reximi 2621 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
2221ralimi 2589 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )
23 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  n )
)
2423raleqdv 2703 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2524cbvrexv 2718 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2625a1i 12 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  CC  <->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC ) )
2726rcla4v 2831 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )
286, 22, 27mpsyl 61 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC )
2928a1i 12 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )
30 eluzelz 10170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
3130, 4eleq2s 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
32 eqid 2256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
3332climcau 12074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3431, 33sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
3532r19.29uz 11764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )
3635ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) ) )
3736ralimdv 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
3834, 37mpan9 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938an32s 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039adantll 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
41 simplrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  CC )
42 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
4342eleq1d 2322 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
4443rcla4cva 2834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  m )  e.  CC )
4541, 44sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( F `
 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
46 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ralimi 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4842oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )
4948fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) ) )
5049breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
5150cbvralv 2717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5247, 51sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
5352reximi 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x
)
5453ralimi 2589 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
5554adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
56 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  i )
)
57 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  i  ->  ( F `  j )  =  ( F `  i ) )
5857oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 m )  -  ( F `  i ) ) )
5958fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) ) )
6059breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x
) )
6156, 60raleqbidv 2708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x ) )
6261cbvrexv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  x )
63 breq2 3967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  y
) )
6463rexralbidv 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6562, 64syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j )
) )  <  x  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 i ) ) )  <  y ) )
6665cbvralv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  j ) ) )  <  x  <->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
6755, 66sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  A. y  e.  RR+  E. i  e.  ( ZZ>= `  n ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( ( F `  m )  -  ( F `  i ) ) )  <  y )
68 simpll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  F  e.  V )
6932, 45, 67, 68caucvg 12081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  (
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ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
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 k )  e.  CC ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
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( F `  k
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<-> 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
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 j ) ) )  <  x ) ) )
724, 32cau4 11770 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
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( F `  k
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 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
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7372ad2antrl 711 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
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( F `  k
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<-> 
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) ) )
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( F `  k
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   <.cop 3584   class class class wbr 3963   dom cdm 4626   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   1c1 8671    < clt 8800    - cmin 8970   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   RR+crp 10286   abscabs 11649    ~~> cli 11888
This theorem is referenced by:  serf0  12083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-ico 10593  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893
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