Theorem caucvglem1 7157

Description: Lemma for caucvg 7163. This lemma shows the membership relation for S.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- F:NN-->RR
caucvg.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg.3	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}

Assertion

Ref	Expression
caucvglem1	|- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))

Distinct variable groups:   y,z,w,u,v,F   z,S,w   y,A,v,u

Proof of Theorem caucvglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2622	. . . 4 |- (u = A -> (u < (F` y) <-> A < (F` y)))
2	1	imbi2d 612	. . 3 |- (u = A -> ((v <_ y -> u < (F` y)) <-> (v <_ y -> A < (F` y))))
3	2	rexralbidv 1682	. 2 |- (u = A -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y)) <-> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
4		caucvg.3	. 2 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}
5	3, 4	elrab2 1907	1 |- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  caucvglem2 7158  caucvglem4 7160  caucvglem5 7161  caucvglem6 7162

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-un 2050  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620

Copyright terms: Public domain