Theorem caucvglem4 7104

Description: Lemma for caucvg 7107. Anything less that the supremum of S belongs to S.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- F:NN-->RR
caucvg.2	|- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
caucvg.3	|- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}

Assertion

Ref	Expression
caucvglem4	|- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> A e. S))

Distinct variable groups:   y,z,w,u,v,F   z,S,w   y,A,v,u

Proof of Theorem caucvglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvg.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
2		caucvg.2	. . . . 5 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.y e. NN (w < y -> (abs` ((F` y) - (F` w))) < z))
3		caucvg.3	. . . . 5 |- S = {u e. RR | E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> u < (F` y))}
4	1, 2, 3	caucvglem2 7102	. . . 4 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.f e. S f <_ x)
5	4	suprlubi 6018	. . 3 |- ((A e. RR /\ A < sup(S, RR, < )) -> E.t e. S A < t)
6	5	ex 373	. 2 |- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> E.t e. S A < t))
7		axlttrn 5484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ (F` y) e. RR) -> ((A < t /\ t < (F` y)) -> A < (F` y)))
8	1	ffvelrni 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. NN -> (F` y) e. RR)
9	7, 8	syl3an3 860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ y e. NN) -> ((A < t /\ t < (F` y)) -> A < (F` y)))
10	9	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ t e. RR /\ y e. NN) -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))
11	10	3exp 831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. RR -> (t e. RR -> (y e. NN -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
12	11	com3l 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. RR -> (y e. NN -> (A e. RR -> (A < t -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
13	12	com4t 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (A < t -> (t e. RR -> (y e. NN -> (t < (F` y) -> A < (F` y))))))
14	13	imp41 368	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) /\ y e. NN) -> (t < (F` y) -> A < (F` y)))
15	14	imim2d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) /\ y e. NN) -> ((v <_ y -> t < (F` y)) -> (v <_ y -> A < (F` y))))
16	15	r19.20dva 1706	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) -> (A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
17	16	r19.22sdv 1735	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ A < t) /\ t e. RR) -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
18	17	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A < t) -> (t e. RR -> (E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y)) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y)))))
19	18	imp3a 361	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A < t) -> ((t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))) -> E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
20		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A < t) -> A e. RR)
21	19, 20	jctild 600	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ A < t) -> ((t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))) -> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y)))))
22	1, 2, 3	caucvglem1 7101	. . . . . 6 |- (t e. S <-> (t e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> t < (F` y))))
23	1, 2, 3	caucvglem1 7101	. . . . . 6 |- (A e. S <-> (A e. RR /\ E.v e. NN A.y e. NN (v <_ y -> A < (F` y))))
24	21, 22, 23	3imtr4g 552	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ A < t) -> (t e. S -> A e. S))
25	24	ex 373	. . . 4 |- (A e. RR -> (A < t -> (t e. S -> A e. S)))
26	25	com23 32	. . 3 |- (A e. RR -> (t e. S -> (A < t -> A e. S)))
27	26	r19.23adv 1743	. 2 |- (A e. RR -> (E.t e. S A < t -> A e. S))
28	6, 27	syld 27	1 |- (A e. RR -> (A < sup(S, RR, < ) -> A e. S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  {crab 1645   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  RRcr 5213  0cc0 5214   - cmin 5272   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  abscabs 6689

This theorem is referenced by:  caucvglem6 7106

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain