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Theorem caucvgr 12142
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caucvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
caucvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
caucvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgr  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~> r  )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x

Proof of Theorem caucvgr
StepHypRef Expression
1 caucvgr.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
21feqmptd 5536 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  A  |->  ( F `
 n ) ) )
3 ffvelrn 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  n  e.  A )  ->  ( F `  n
)  e.  CC )
41, 3sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
54replimd 11676 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( F `  n )  =  ( ( Re
`  ( F `  n ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  n ) ) ) ) )
65mpteq2dva 4107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( F `  n
) )  =  ( n  e.  A  |->  ( ( Re `  ( F `  n )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  n ) ) ) ) ) )
72, 6eqtrd 2316 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  A  |->  ( ( Re `  ( F `
 n ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `
 n ) ) ) ) ) )
8 fvex 5499 . . . . 5  |-  ( Re
`  ( F `  n ) )  e. 
_V
98a1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  n ) )  e. 
_V )
10 ovex 5844 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  n ) ) )  e.  _V
1110a1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( F `  n
) ) )  e. 
_V )
12 caucvgr.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
13 caucvgr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
14 caucvgr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
15 ref 11591 . . . . 5  |-  Re : CC
--> RR
16 resub 11606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( Re `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( Re `  ( F `
 k ) )  -  ( Re `  ( F `  j ) ) ) )
1716fveq2d 5489 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( Re `  ( F `  k ) )  -  ( Re
`  ( F `  j ) ) ) ) )
18 subcl 9046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( F `  k )  -  ( F `  j )
)  e.  CC )
19 absrele 11787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
2117, 20eqbrtrrd 4046 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( Re `  ( F `  k )
)  -  ( Re
`  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
2212, 1, 13, 14, 15, 21caucvgrlem2 12141 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( Re  o.  F ) ) )
23 ax-icn 8791 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
2423elexi 2798 . . . . . 6  |-  _i  e.  _V
2524a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  _i  e.  _V )
26 fvex 5499 . . . . . 6  |-  ( Im
`  ( F `  n ) )  e. 
_V
2726a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  n ) )  e. 
_V )
28 rlimconst 12012 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  _i  e.  CC )  ->  (
n  e.  A  |->  _i )  ~~> r  _i )
2912, 23, 28sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  _i )  ~~> r  _i )
30 imf 11592 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
31 imsub 11614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( Im `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( Im `  ( F `
 k ) )  -  ( Im `  ( F `  j ) ) ) )
3231fveq2d 5489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( Im `  ( F `  k ) )  -  ( Im
`  ( F `  j ) ) ) ) )
33 absimle 11788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
3418, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
3532, 34eqbrtrrd 4046 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( Im `  ( F `  k )
)  -  ( Im
`  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
3612, 1, 13, 14, 30, 35caucvgrlem2 12141 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F ) ) )
3725, 27, 29, 36rlimmul 12112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  n ) ) ) )  ~~> r  ( _i  x.  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F
) ) ) )
389, 11, 22, 37rlimadd 12110 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( ( Re `  ( F `  n ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  n ) ) ) ) )  ~~> r  ( (  ~~> r  `  ( Re  o.  F
) )  +  ( _i  x.  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F
) ) ) ) )
397, 38eqbrtrd 4044 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  ( (  ~~> r  `  ( Re  o.  F ) )  +  ( _i  x.  ( 
~~> r  `  ( Im  o.  F ) ) ) ) )
40 rlimrel 11961 . . 3  |-  Rel  ~~> r
4140releldmi 4914 . 2  |-  ( F  ~~> r  ( (  ~~> r  `  ( Re  o.  F
) )  +  ( _i  x.  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F
) ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~> r  )
4239, 41syl 17 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~> r  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   dom cdm 4688    o. ccom 4692   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   supcsup 7188   CCcc 8730   RRcr 8731   _ici 8734    + caddc 8735    x. cmul 8737    +oocpnf 8859   RR*cxr 8861    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   RR+crp 10349   Recre 11576   Imcim 11577   abscabs 11713    ~~> r crli 11953
This theorem is referenced by:  caucvg  12145  dvfsumrlim  19372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-ico 10656  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-rlim 11957
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