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Theorem caucvgr 12461
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
caucvgr.2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
caucvgr.3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
caucvgr.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgr  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~> r  )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x

Proof of Theorem caucvgr
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgr.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
21feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  A  |->  ( F `
 n ) ) )
31ffvelrnda 5862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
43replimd 11994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( F `  n )  =  ( ( Re
`  ( F `  n ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  n ) ) ) ) )
54mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( F `  n
) )  =  ( n  e.  A  |->  ( ( Re `  ( F `  n )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  n ) ) ) ) ) )
62, 5eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  A  |->  ( ( Re `  ( F `
 n ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `
 n ) ) ) ) ) )
7 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( Re
`  ( F `  n ) )  e. 
_V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  n ) )  e. 
_V )
9 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  n ) ) )  e.  _V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( F `  n
) ) )  e. 
_V )
11 caucvgr.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 caucvgr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
13 caucvgr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  A  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
14 ref 11909 . . . . 5  |-  Re : CC
--> RR
15 resub 11924 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( Re `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( Re `  ( F `
 k ) )  -  ( Re `  ( F `  j ) ) ) )
1615fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( Re `  ( F `  k ) )  -  ( Re
`  ( F `  j ) ) ) ) )
17 subcl 9297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( F `  k )  -  ( F `  j )
)  e.  CC )
18 absrele 12105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
2016, 19eqbrtrrd 4226 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( Re `  ( F `  k )
)  -  ( Re
`  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
2111, 1, 12, 13, 14, 20caucvgrlem2 12460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( Re  o.  F ) ) )
22 ax-icn 9041 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
2322elexi 2957 . . . . . 6  |-  _i  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  _i  e.  _V )
25 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Im
`  ( F `  n ) )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  n ) )  e. 
_V )
27 rlimconst 12330 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  _i  e.  CC )  ->  (
n  e.  A  |->  _i )  ~~> r  _i )
2811, 22, 27sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  _i )  ~~> r  _i )
29 imf 11910 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
30 imsub 11932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( Im `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( Im `  ( F `
 k ) )  -  ( Im `  ( F `  j ) ) ) )
3130fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( Im `  ( F `  k ) )  -  ( Im
`  ( F `  j ) ) ) ) )
32 absimle 12106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
3317, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
3431, 33eqbrtrrd 4226 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( Im `  ( F `  k )
)  -  ( Im
`  ( F `  j ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
3511, 1, 12, 13, 29, 34caucvgrlem2 12460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  n )
) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F ) ) )
3624, 26, 28, 35rlimmul 12430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  n ) ) ) )  ~~> r  ( _i  x.  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F
) ) ) )
378, 10, 21, 36rlimadd 12428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  |->  ( ( Re `  ( F `  n ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  n ) ) ) ) )  ~~> r  ( (  ~~> r  `  ( Re  o.  F
) )  +  ( _i  x.  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F
) ) ) ) )
386, 37eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  ( (  ~~> r  `  ( Re  o.  F ) )  +  ( _i  x.  ( 
~~> r  `  ( Im  o.  F ) ) ) ) )
39 rlimrel 12279 . . 3  |-  Rel  ~~> r
4039releldmi 5098 . 2  |-  ( F  ~~> r  ( (  ~~> r  `  ( Re  o.  F
) )  +  ( _i  x.  (  ~~> r  `  ( Im  o.  F
) ) ) )  ->  F  e.  dom  ~~> r  )
4138, 40syl 16 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~> r  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   RR+crp 10604   Recre 11894   Imcim 11895   abscabs 12031    ~~> r crli 12271
This theorem is referenced by:  caucvg  12464  dvfsumrlim  19907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-rlim 12275
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