Theorem caufss 7947

Description: Inclusion of a Cauchy sequence, under our definition.

Hypothesis

Ref	Expression
caun0.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
caufss	|- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> F (_ (CC X. X))

Proof of Theorem caufss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caun0.1	. . 3 |- X = dom dom D
2	1	iscau 7933	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))
3	2	pm3.26bda 422	1 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> F (_ (CC X. X))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  dom cdm 3176  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  Metcme 7786  Caucca 7917

This theorem is referenced by:  causs 7952  iscms2lem4 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-opr 3971  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098  df-nr 5179  df-c 5252  df-cau 7920

Copyright terms: Public domain