Theorem caufval 7888

Description: The set of Cauchy sequences on a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
lmfval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
caufval	|- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})

Distinct variable groups:   f,j,k,m,x,D   f,X

Proof of Theorem caufval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 3354	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. V)
2		dmexg 3354	. . . . 5 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
4		lmfval.1	. . . 4 |- X = dom dom D
5	3, 4	syl5eqel 1550	. . 3 |- (D e. Met -> X e. V)
6		axcnex 5250	. . . 4 |- CC e. V
7		xpexg 3255	. . . 4 |- ((CC e. V /\ X e. V) -> (CC X. X) e. V)
8	6, 7	mpan 694	. . 3 |- (X e. V -> (CC X. X) e. V)
9		abssexg 2743	. . 3 |- ((CC X. X) e. V -> {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V)
10	5, 8, 9	3syl 20	. 2 |- (D e. Met -> {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V)
11		dmeq 3307	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> dom z = dom D)
12	11	dmeqd 3309	. . . . . . . 8 |- (z = D -> dom dom z = dom dom D)
13	12, 4	syl6eqr 1523	. . . . . . 7 |- (z = D -> dom dom z = X)
14		xpeq2 3197	. . . . . . 7 |- (dom dom z = X -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
15	13, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (z = D -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
16	15	sseq2d 2086	. . . . 5 |- (z = D -> (f (_ (CC X. dom dom z) <-> f (_ (CC X. X)))
17	13	eleq2d 1539	. . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` k) e. dom dom z <-> (f` k) e. X))
18	13	eleq2d 1539	. . . . . . . . . . 11 |- (z = D -> ((f` m) e. dom dom z <-> (f` m) e. X))
19	17, 18	3anbi12d 893	. . . . . . . . . 10 |- (z = D -> (((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x) <-> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))
20	19	imbi2d 611	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> (((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
21	20	ralbidv 1661	. . . . . . . 8 |- (z = D -> (A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
22	21	rexralbidv 1680	. . . . . . 7 |- (z = D -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))
23	22	imbi2d 611	. . . . . 6 |- (z = D -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
24	23	ralbidv 1661	. . . . 5 |- (z = D -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
25	16, 24	anbi12d 627	. . . 4 |- (z = D -> ((f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))) <-> (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))))
26	25	abbidv 1575	. . 3 |- (z = D -> {f | (f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
27		df-cau 7885	. . 3 |- Cau = {<.z, w>. | (z e. Met /\ w = {f | (f (_ (CC X. dom dom z) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. dom dom z /\ (f` m) e. dom dom z /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})}
28	26, 27	fvopab4g 3774	. 2 |- ((D e. Met /\ {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} e. V) -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
29	10, 28	mpdan 703	1 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  A.wral 1643  E.wrex 1644  Vcvv 1808   (_ wss 2044   class class class wbr 2615   X. cxp 3164  dom cdm 3166  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217   <_ cle 5278  ZZcz 5281   < clt 5469  Metcme 7749  Caucca 7882

This theorem is referenced by:  iscau 7898  h2hcau 8804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we