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Theorem cctop 17058
Description: The countable complement topology on a set  A. Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem cctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4028 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3420 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A
3 sspwuni 4168 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A )
42, 3mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3352 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A )
6 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 4696 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 3797 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A
)
10 uni0c 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
)
17 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A 
\  z )  ~<_  om 
->  z  =  (/) ) )
2322con1d 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
)
2423imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
25 reldom 7106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  ~<_
2625brrelexi 4909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  z )  ~<_  om  ->  ( A  \  z )  e.  _V )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  z )  e. 
_V )
28 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  z  e.  y )
29 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
30 sscon 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  U. y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
32 ssdomg 7144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  z )  e.  _V  ->  (
( A  \  U. y )  C_  ( A  \  z )  -> 
( A  \  U. y )  ~<_  ( A 
\  z ) ) )
3327, 31, 32sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  ( A  \  z
) )
34 domtr 7151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  U. y )  ~<_  ( A 
\  z )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3533, 34sylancom 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3624, 35mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3736exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  -> 
( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
) )
3837rexlimdv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
)
3913, 38syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
)
4039con1d 118 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  ~<_  om  ->  U. y  =  (/) ) )
4140orrd 368 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) )
42 difeq2 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
4342breq1d 4214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  ~<_  om  <->  ( A  \ 
U. y )  ~<_  om ) )
44 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4543, 44orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) 
<->  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4645elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( U. y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) ) )
479, 41, 46sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
4847ax-gen 1555 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
49 ssinss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
506elpw 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
516inex1 4336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5251elpw 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
5349, 50, 523imtr4i 258 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
5453ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
55 difindi 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
56 unctb 8074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( ( A  \  y )  u.  ( A  \  z
) )  ~<_  om )
5755, 56syl5eqbr 4237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  ~<_  om )
5857orcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
59 ineq1 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
60 incom 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
61 in0 3645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
6260, 61eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
6359, 62syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6463olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
65 ineq2 3528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
66 in0 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6765, 66syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6867olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6958, 64, 68ccase2 915 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7069ad2ant2l 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7154, 70jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  ~<_  om  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
72 difeq2 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
7372breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
y )  ~<_  om )
)
74 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7573, 74orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) ) )
7675elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  (
( A  \  y
)  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) ) )
7776, 19anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  y
)  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) ) )
78 difeq2 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7978breq1d 4214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  ~<_  om )
)
80 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
8179, 80orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
8281elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  ~<_  om  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
8371, 77, 823imtr4i 258 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
8483rgen2a 2764 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }
8548, 84pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
86 pwexg 4375 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
87 rabexg 4345 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
88 istopg 16956 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top 
<->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8986, 87, 883syl 19 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
9085, 89mpbiri 225 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
91 pwidg 3803 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
92 omex 7587 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
93920dom 7228 . . . . . . 7  |-  (/)  ~<_  om
9493orci 380 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) )
9594a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) )
96 difeq2 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
97 difid 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9896, 97syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9998breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  (/)  ~<_  om ) )
100 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
10199, 100orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) ) )
102101elrab 3084 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) ) )
10391, 95, 102sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
104 elssuni 4035 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  A 
C_  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
105103, 104syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
1064a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A )
107105, 106eqssd 3357 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
108 istopon 16978 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) )
10990, 107, 108sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   omcom 4836   ` cfv 5445    ~<_ cdom 7098   Topctop 16946  TopOnctopon 16947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-top 16951  df-topon 16954
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