MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda0en Unicode version

Theorem cda0en 7805
Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda0en  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  +c  (/) )  ~~  A
)

Proof of Theorem cda0en
StepHypRef Expression
1 0ex 4150 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 in0 3480 . . 3  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
3 cdaun 7798 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  (/) 
e.  _V  /\  ( A  i^i  (/) )  =  (/) )  ->  ( A  +c  (/) )  ~~  ( A  u.  (/) ) )
41, 2, 3mp3an23 1269 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  +c  (/) )  ~~  ( A  u.  (/) ) )
5 un0 3479 . 2  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
64, 5syl6breq 4062 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  +c  (/) )  ~~  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  cdalepw  7822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1o 6479  df-en 6864  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator