Theorem cda0en 4905

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143.

Hypothesis

Ref	Expression
cda0en.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
cda0en	|- (A +c (/)) ~~ A

Proof of Theorem cda0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cda0en.1	. . . 4 |- A e. V
2		0ex 2706	. . . 4 |- (/) e. V
3	1, 2	cdaval 4900	. . 3 |- (A +c (/)) = ((A X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3234	. . . 4 |- ((/) X. {1o}) = (/)
5	4	uneq2i 2177	. . 3 |- ((A X. {(/)}) u. ((/) X. {1o})) = ((A X. {(/)}) u. (/))
6		un0 2293	. . 3 |- ((A X. {(/)}) u. (/)) = (A X. {(/)})
7	3, 5, 6	3eqtr 1496	. 2 |- (A +c (/)) = (A X. {(/)})
8	1, 2	xpsnen 4421	. 2 |- (A X. {(/)}) ~~ A
9	7, 8	eqbrtr 2629	1 |- (A +c (/)) ~~ A

Syntax hints:   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041  (/)c0 2276  {csn 2405   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   ~~ cen 4354   +c ccda 4897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-en 4357  df-cda 4898

Copyright terms: Public domain