MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom2 Unicode version

Theorem cdadom2 7808
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )

Proof of Theorem cdadom2
StepHypRef Expression
1 cdadom1 7807 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C ) )
2 cdacomen 7802 . . 3  |-  ( A  +c  C )  ~~  ( C  +c  A
)
3 cdacomen 7802 . . 3  |-  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
)
4 domen1 6998 . . . 4  |-  ( ( A  +c  C ) 
~~  ( C  +c  A )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( B  +c  C ) ) )
5 domen2 6999 . . . 4  |-  ( ( B  +c  C ) 
~~  ( C  +c  B )  ->  (
( C  +c  A
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
64, 5sylan9bb 682 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  C
)  ~~  ( C  +c  A )  /\  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
) )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
72, 3, 6mp2an 655 . 2  |-  ( ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C
)  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
81, 7sylib 190 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178   class class class wbr 4024  (class class class)co 5819    ~~ cen 6855    ~<_ cdom 6856    +c ccda 7788
This theorem is referenced by:  cdalepw  7817  unctb  7826  infcdaabs  7827  infcda  7829  infdif  7830  fin45  8013  canthp1  8271  pwcdandom  8284  gchcdaidm  8285  gchhar  8288  gchpwdom  8291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-suc 4397  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-1o 6474  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-cda 7789
  Copyright terms: Public domain W3C validator