MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom2 Unicode version

Theorem cdadom2 8056
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )

Proof of Theorem cdadom2
StepHypRef Expression
1 cdadom1 8055 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C ) )
2 cdacomen 8050 . . 3  |-  ( A  +c  C )  ~~  ( C  +c  A
)
3 cdacomen 8050 . . 3  |-  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
)
4 domen1 7240 . . . 4  |-  ( ( A  +c  C ) 
~~  ( C  +c  A )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( B  +c  C ) ) )
5 domen2 7241 . . . 4  |-  ( ( B  +c  C ) 
~~  ( C  +c  B )  ->  (
( C  +c  A
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
64, 5sylan9bb 681 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  C
)  ~~  ( C  +c  A )  /\  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
) )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
72, 3, 6mp2an 654 . 2  |-  ( ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C
)  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
81, 7sylib 189 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072    ~~ cen 7097    ~<_ cdom 7098    +c ccda 8036
This theorem is referenced by:  cdalepw  8065  unctb  8074  infcdaabs  8075  infcda  8077  infdif  8078  fin45  8261  canthp1  8518  pwcdandom  8531  gchcdaidm  8532  gchhar  8535  gchpwdom  8538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-cda 8037
  Copyright terms: Public domain W3C validator