Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaen Unicode version

Theorem cdaen 8013
 Description: Cardinal addition of equinumerous sets. Exercise 4.56(b) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdaen

Proof of Theorem cdaen
StepHypRef Expression
1 relen 7077 . . . . . 6
21brrelexi 4881 . . . . 5
3 0ex 4303 . . . . 5
4 xpsneng 7156 . . . . 5
52, 3, 4sylancl 644 . . . 4
61brrelex2i 4882 . . . . . . 7
7 xpsneng 7156 . . . . . . 7
86, 3, 7sylancl 644 . . . . . 6
98ensymd 7121 . . . . 5
10 entr 7122 . . . . 5
119, 10mpdan 650 . . . 4
12 entr 7122 . . . 4
135, 11, 12syl2anc 643 . . 3
141brrelexi 4881 . . . . 5
15 1on 6694 . . . . 5
16 xpsneng 7156 . . . . 5
1714, 15, 16sylancl 644 . . . 4
181brrelex2i 4882 . . . . . . 7
19 xpsneng 7156 . . . . . . 7
2018, 15, 19sylancl 644 . . . . . 6
2120ensymd 7121 . . . . 5
22 entr 7122 . . . . 5
2321, 22mpdan 650 . . . 4
24 entr 7122 . . . 4
2517, 23, 24syl2anc 643 . . 3
26 xp01disj 6703 . . . 4
27 xp01disj 6703 . . . 4
28 unen 7152 . . . 4
2926, 27, 28mpanr12 667 . . 3
3013, 25, 29syl2an 464 . 2
31 cdaval 8010 . . 3
322, 14, 31syl2an 464 . 2
33 cdaval 8010 . . 3
346, 18, 33syl2an 464 . 2
3530, 32, 343brtr4d 4206 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2920   cun 3282   cin 3283  c0 3592  csn 3778   class class class wbr 4176  con0 4545   cxp 4839  (class class class)co 6044  c1o 6680   cen 7069   ccda 8007 This theorem is referenced by:  cdaenun  8014  cardacda  8038  pwsdompw  8044  ackbij1lem5  8064  ackbij1lem9  8068  gchhar  8506 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-suc 4551  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1o 6687  df-er 6868  df-en 7073  df-cda 8008
 Copyright terms: Public domain W3C validator