Theorem cdafi 4936

Description: The cardinal sum of two finite sets is finite.

Assertion

Ref	Expression
cdafi	|- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (A +c B) ~< om)

Proof of Theorem cdafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdavalt 4919	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. V) -> (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
2		sdomex 4473	. . . 4 |- (A ~< om -> (A e. V /\ om e. V))
3	2	pm3.26d 321	. . 3 |- (A ~< om -> A e. V)
4		sdomex 4473	. . . 4 |- (B ~< om -> (B e. V /\ om e. V))
5	4	pm3.26d 321	. . 3 |- (B ~< om -> B e. V)
6	1, 3, 5	syl2an 454	. 2 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
7		unfi2 4553	. . 3 |- (((A X. {(/)}) ~< om /\ (B X. {1o}) ~< om) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~< om)
8		sdomen1 4481	. . . . 5 |- ((A e. V /\ (A X. {(/)}) ~~ A) -> ((A X. {(/)}) ~< om <-> A ~< om))
9		0elon 3022	. . . . . . 7 |- (/) e. On
10		xpsneng 4436	. . . . . . 7 |- ((A e. V /\ (/) e. On) -> (A X. {(/)}) ~~ A)
11	9, 10	mpan2 696	. . . . . 6 |- (A e. V -> (A X. {(/)}) ~~ A)
12	3, 11	syl 10	. . . . 5 |- (A ~< om -> (A X. {(/)}) ~~ A)
13	8, 3, 12	sylanc 471	. . . 4 |- (A ~< om -> ((A X. {(/)}) ~< om <-> A ~< om))
14	13	ibir 593	. . 3 |- (A ~< om -> (A X. {(/)}) ~< om)
15		sdomen1 4481	. . . . 5 |- ((B e. V /\ (B X. {1o}) ~~ B) -> ((B X. {1o}) ~< om <-> B ~< om))
16		1on 4138	. . . . . . 7 |- 1o e. On
17		xpsneng 4436	. . . . . . 7 |- ((B e. V /\ 1o e. On) -> (B X. {1o}) ~~ B)
18	16, 17	mpan2 696	. . . . . 6 |- (B e. V -> (B X. {1o}) ~~ B)
19	5, 18	syl 10	. . . . 5 |- (B ~< om -> (B X. {1o}) ~~ B)
20	15, 5, 19	sylanc 471	. . . 4 |- (B ~< om -> ((B X. {1o}) ~< om <-> B ~< om))
21	20	ibir 593	. . 3 |- (B ~< om -> (B X. {1o}) ~< om)
22	7, 14, 21	syl2an 454	. 2 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~< om)
23	6, 22	eqbrtrd 2635	1 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (A +c B) ~< om)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  omcom 3131   X. cxp 3168  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   ~~ cen 4364   ~< csdm 4366   +c ccda 4917

This theorem is referenced by:  cdainf 4937  infdif 7568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-cda 4918

Copyright terms: Public domain