Theorem cdainf 4917

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
cdainf.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
cdainf	|- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Proof of Theorem cdainf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdainf.1	. . . 4 |- A e. V
2	1, 1	cdadom3 4915	. . 3 |- A ~<_ (A +c A)
3		domtr 4402	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ (A +c A)) -> om ~<_ (A +c A))
4	2, 3	mpan2 695	. 2 |- (om ~<_ A -> om ~<_ (A +c A))
5		cdafi 4916	. . . . 5 |- ((A ~< om /\ A ~< om) -> (A +c A) ~< om)
6	5	anidms 434	. . . 4 |- (A ~< om -> (A +c A) ~< om)
7	6	con3i 98	. . 3 |- (-. (A +c A) ~< om -> -. A ~< om)
8		omex 4607	. . . 4 |- om e. V
9		oprex 3974	. . . 4 |- (A +c A) e. V
10		domtri 4818	. . . 4 |- ((om e. V /\ (A +c A) e. V) -> (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om))
11	8, 9, 10	mp2an 696	. . 3 |- (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om)
12		domtri 4818	. . . 4 |- ((om e. V /\ A e. V) -> (om ~<_ A <-> -. A ~< om))
13	8, 1, 12	mp2an 696	. . 3 |- (om ~<_ A <-> -. A ~< om)
14	7, 11, 13	3imtr4 219	. 2 |- (om ~<_ (A +c A) -> om ~<_ A)
15	4, 14	impbi 157	1 |- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   e. wcel 956  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  omcom 3126  (class class class)co 3954   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356   +c ccda 4897

This theorem is referenced by:  infdif 7519

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796  df-cda 4898

Copyright terms: Public domain