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Theorem cdj3i 23793
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3.1  |-  A  e.  SH
cdj3.2  |-  B  e.  SH
cdj3.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.5  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
cdj3.6  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3i  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u    v, T, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u)    ps( x, y, z, w, v, u)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3i
Dummy variables  t  h  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 cdj3.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 23786 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
4 cdj3.3 . . . . 5  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
51, 2, 4cdj3lem2b 23789 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6 cdj3.5 . . . 4  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
75, 6sylibr 204 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ph )
8 cdj3.4 . . . . 5  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
91, 2, 8cdj3lem3b 23792 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
10 cdj3.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
119, 10sylibr 204 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ps )
123, 7, 113jca 1134 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph  /\  ps ) )
13 breq2 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  (
0  <  v  <->  0  <  f ) )
14 oveq1 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  u ) ) )
1514breq2d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  f  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1615ralbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1713, 16anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  f  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
1817cbvrexv 2877 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
196, 18bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  E. f  e.  RR  (
0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
20 breq2 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  (
0  <  v  <->  0  <  g ) )
21 oveq1 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  g  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  u ) ) )
2221breq2d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  g  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2322ralbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2420, 23anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  g  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
2524cbvrexv 2877 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. g  e.  RR  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2610, 25bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2719, 26anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  E. g  e.  RR  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
28 reeanv 2819 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) )  /\  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
2927, 28bitr4i 244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
30 an4 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( ( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
31 addgt0 9447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( 0  < 
f  /\  0  <  g ) )  ->  0  <  ( f  +  g ) )
3231ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
f  /\  0  <  g )  ->  0  <  ( f  +  g ) ) )
3332adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  f  /\  0  <  g )  -> 
0  <  ( f  +  g ) ) )
341, 2shsvai 22715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ( A  +H  B ) )
35 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
3635fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
37 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
3837oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
f  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
3936, 38breq12d 4167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4039rspcv 2992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
41 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( t  +h  h
) ) )
4241fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( T `  u ) )  =  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) ) )
4337oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
g  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
4442, 43breq12d 4167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4544rspcv 2992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4640, 45anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4734, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4847adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
491sheli 22565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
50 normcl 22476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
522sheli 22565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
53 normcl 22476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5551, 54anim12i 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
57 hvaddcl 22364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
5849, 52, 57syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
59 normcl 22476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
61 remulcl 9009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6260, 61sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6362adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
64 remulcl 9009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6560, 64sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6665adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
67 le2add 9443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  /\  (
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR  /\  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6856, 63, 66, 67syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6968adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
701, 2, 4cdj3lem2 23787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
7170fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
7271breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  t )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
731, 2, 8cdj3lem3 23790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( T `  (
t  +h  h ) )  =  h )
7473fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  h )
)
7574breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
7672, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
77763expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7877ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7978adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
80 recn 9014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
81 recn 9014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
8260recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )
83 adddir 9017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  (
t  e.  A  /\  h  e.  B )
)  ->  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
85843expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
8685breq2d 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8786adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8869, 79, 873imtr4d 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
8948, 88syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
9089ralrimdvva 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
91 readdcl 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  e.  RR )
92 breq2 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
0  <  v  <->  0  <  ( f  +  g ) ) )
93 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
9493oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
95 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
9695fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
9796oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
9894, 97breq12d 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
99 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
10099oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
101 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
102101fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
103102oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
104100, 103breq12d 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
10598, 104cbvral2v 2884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
106 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
107106breq2d 4166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1081072ralbidv 2692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
109105, 108syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
11092, 109anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  <->  ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) ) )
111110rspcev 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  +  g )  e.  RR  /\  ( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
112111ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  +  g )  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11391, 112syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
114113adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  ( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11533, 90, 114syl2and 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11630, 115syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
117116rexlimdvva 2781 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11829, 117syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
1191183impib 1151 . 2  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ph 
/\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
12012, 119impbii 181 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    i^i cin 3263   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   iota_crio 6479   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055   ~Hchil 22271    +h cva 22272   normhcno 22275   SHcsh 22280    +H cph 22283   0Hc0h 22287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his3 22435  ax-his4 22436
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-hnorm 22320  df-hvsub 22323  df-sh 22558  df-ch0 22604  df-shs 22659
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