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Theorem cdj3i 23932
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3.1  |-  A  e.  SH
cdj3.2  |-  B  e.  SH
cdj3.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.5  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
cdj3.6  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3i  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u    v, T, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u)    ps( x, y, z, w, v, u)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3i
Dummy variables  t  h  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 cdj3.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 23925 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
4 cdj3.3 . . . . 5  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
51, 2, 4cdj3lem2b 23928 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6 cdj3.5 . . . 4  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
75, 6sylibr 204 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ph )
8 cdj3.4 . . . . 5  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
91, 2, 8cdj3lem3b 23931 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
10 cdj3.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
119, 10sylibr 204 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ps )
123, 7, 113jca 1134 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph  /\  ps ) )
13 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  (
0  <  v  <->  0  <  f ) )
14 oveq1 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  u ) ) )
1514breq2d 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  f  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1615ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1713, 16anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  f  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
1817cbvrexv 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
196, 18bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  E. f  e.  RR  (
0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
20 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  (
0  <  v  <->  0  <  g ) )
21 oveq1 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  g  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  u ) ) )
2221breq2d 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  g  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2322ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2420, 23anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  g  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
2524cbvrexv 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. g  e.  RR  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2610, 25bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2719, 26anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  E. g  e.  RR  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
28 reeanv 2867 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) )  /\  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
2927, 28bitr4i 244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
30 an4 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( ( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
31 addgt0 9503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( 0  < 
f  /\  0  <  g ) )  ->  0  <  ( f  +  g ) )
3231ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
f  /\  0  <  g )  ->  0  <  ( f  +  g ) ) )
3332adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  f  /\  0  <  g )  -> 
0  <  ( f  +  g ) ) )
341, 2shsvai 22854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ( A  +H  B ) )
35 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
3635fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
37 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
3837oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
f  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
3936, 38breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4039rspcv 3040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
41 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( t  +h  h
) ) )
4241fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( T `  u ) )  =  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) ) )
4337oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
g  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
4442, 43breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4544rspcv 3040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4640, 45anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4734, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4847adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
491sheli 22704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
50 normcl 22615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
522sheli 22704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
53 normcl 22615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5551, 54anim12i 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
57 hvaddcl 22503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
5849, 52, 57syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
59 normcl 22615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
61 remulcl 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6260, 61sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6362adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
64 remulcl 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6560, 64sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6665adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
67 le2add 9499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  /\  (
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR  /\  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6856, 63, 66, 67syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6968adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
701, 2, 4cdj3lem2 23926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
7170fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
7271breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  t )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
731, 2, 8cdj3lem3 23929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( T `  (
t  +h  h ) )  =  h )
7473fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  h )
)
7574breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
7672, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
77763expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7877ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7978adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
80 recn 9069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
81 recn 9069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
8260recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )
83 adddir 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  (
t  e.  A  /\  h  e.  B )
)  ->  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
85843expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
8685breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8786adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8869, 79, 873imtr4d 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
8948, 88syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
9089ralrimdvva 2793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
91 readdcl 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  e.  RR )
92 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
0  <  v  <->  0  <  ( f  +  g ) ) )
93 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
9493oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
95 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
9695fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
9796oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
9894, 97breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
99 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
10099oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
101 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
102101fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
103102oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
104100, 103breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
10598, 104cbvral2v 2932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
106 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
107106breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1081072ralbidv 2739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
109105, 108syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
11092, 109anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  <->  ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) ) )
111110rspcev 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  +  g )  e.  RR  /\  ( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
112111ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  +  g )  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11391, 112syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
114113adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  ( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11533, 90, 114syl2and 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11630, 115syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
117116rexlimdvva 2829 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11829, 117syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
1191183impib 1151 . 2  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ph 
/\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
12012, 119impbii 181 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   iota_crio 6533   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110   ~Hchil 22410    +h cva 22411   normhcno 22414   SHcsh 22419    +H cph 22422   0Hc0h 22426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his3 22574  ax-his4 22575
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-grpo 21767  df-ablo 21858  df-hnorm 22459  df-hvsub 22462  df-sh 22697  df-ch0 22743  df-shs 22798
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