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Theorem cdj3lem1 22939
Description: A property of " A and  B are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1  |-  A  e.  SH
cdj1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
cdj3lem1  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem cdj3lem1
StepHypRef Expression
1 elin 3300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  B ) )
2 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e.  SH
3 neg1cn 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
4 shmulcl 21722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  w  e.  B )  ->  ( -u 1  .h  w )  e.  B
)
52, 3, 4mp3an12 1272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  B  ->  ( -u 1  .h  w )  e.  B )
65anim2i 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w )  e.  B
) )
71, 6sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w )  e.  B ) )
8 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  w )
)
98oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  z
) ) )
10 oveq1 5764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
y  +h  z )  =  ( w  +h  z ) )
1110fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( normh `  ( y  +h  z ) )  =  ( normh `  ( w  +h  z ) ) )
1211oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) )  =  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) ) )
139, 12breq12d 3976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  <-> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) ) ) )
14 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )
1514oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  z
) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) ) )
16 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
w  +h  z )  =  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )
1716fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  ( normh `  ( w  +h  z ) )  =  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )
1817oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
x  x.  ( normh `  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) ) )
1915, 18breq12d 3976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) )  <-> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
2013, 19rcla42v 2841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w
)  e.  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) )  -> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
2221adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  z ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
23 cdj1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  SH
2423, 2shincli 21866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH
2524sheli 21718 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  ~H )
26 normneg 21648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) )  =  ( normh `  w )
)
2726oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  w
) ) )
28 normcl 21629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  w )  e.  RR )
2928recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  w )  e.  CC )
30292timesd 9886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
2  x.  ( normh `  w ) )  =  ( ( normh `  w
)  +  ( normh `  w ) ) )
3127, 30eqtr4d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( 2  x.  ( normh `  w ) ) )
3231adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( 2  x.  ( normh `  w )
) )
33 hvnegid 21531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
w  +h  ( -u
1  .h  w ) )  =  0h )
3433fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )  =  ( normh `  0h )
)
35 norm0 21632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normh `  0h )  =  0
3634, 35syl6eq 2304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )  =  0 )
3736oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  =  ( x  x.  0 ) )
38 recn 8760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
3938mul01d 8944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4037, 39sylan9eqr 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) )  =  0 )
41 2cn 9749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
4241mul01i 8935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
4340, 42syl6eqr 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
4432, 43breq12d 3976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
45 0re 8771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
46 letri3 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  w )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  w ) ) ) )
4728, 45, 46sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  w ) ) ) )
48 normge0 21630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  w )
)
4948biantrud 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  <_  0  <->  ( ( normh `  w )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  w ) ) ) )
50 2re 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
51 2pos 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
5250, 51pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
53 lemul2 9542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  w )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( normh `  w
)  <_  0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w
) )  <_  (
2  x.  0 ) ) )
5445, 52, 53mp3an23 1274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  w )  e.  RR  ->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
5528, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  <_  0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
5647, 49, 553bitr2rd 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( 2  x.  ( normh `  w ) )  <_  ( 2  x.  0 )  <->  ( normh `  w )  =  0 ) )
57 norm-i 21633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  w  =  0h ) )
5856, 57bitrd 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( 2  x.  ( normh `  w ) )  <_  ( 2  x.  0 )  <->  w  =  0h ) )
5958adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 )  <->  w  =  0h ) )
6044, 59bitrd 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  w  =  0h ) )
6125, 60sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  w  =  0h ) )
6222, 61sylibd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  z ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  w  =  0h ) )
6362impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  w  =  0h ) )
64 elch0 21758 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  0H  <->  w  =  0h )
6563, 64syl6ibr 220 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  w  e.  0H ) )
6665ssrdv 3127 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H )
6766ex 425 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H )
)
68 shle0 21946 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  0H  <->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
6924, 68ax-mp 10 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  0H  <->  ( A  i^i  B )  =  0H )
7067, 69syl6ib 219 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
7170adantld 455 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
7271rexlimiv 2632 1  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    i^i cin 3093    C_ wss 3094   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    < clt 8800    <_ cle 8801   -ucneg 8971   2c2 9728   ~Hchil 21424    +h cva 21425    .h csm 21426   normhcno 21428   0hc0v 21429   SHcsh 21433   0Hc0h 21440
This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  22942  cdj3i  22946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-hnorm 21473  df-hvsub 21476  df-sh 21711  df-ch0 21757
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