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Theorem cdj3lem1 22975
Description: A property of " A and  B are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1  |-  A  e.  SH
cdj1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
cdj3lem1  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem cdj3lem1
StepHypRef Expression
1 elin 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( w  e.  A  /\  w  e.  B ) )
2 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e.  SH
3 neg1cn 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
4 shmulcl 21758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  w  e.  B )  ->  ( -u 1  .h  w )  e.  B
)
52, 3, 4mp3an12 1272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  B  ->  ( -u 1  .h  w )  e.  B )
65anim2i 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w )  e.  B
) )
71, 6sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w )  e.  B ) )
8 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  w )
)
98oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  z
) ) )
10 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
y  +h  z )  =  ( w  +h  z ) )
1110fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( normh `  ( y  +h  z ) )  =  ( normh `  ( w  +h  z ) ) )
1211oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) )  =  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) ) )
139, 12breq12d 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  <-> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) ) ) )
14 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )
1514oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  z
) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) ) )
16 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
w  +h  z )  =  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )
1716fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  ( normh `  ( w  +h  z ) )  =  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )
1817oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
x  x.  ( normh `  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) ) )
1915, 18breq12d 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( -u 1  .h  w )  ->  (
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( w  +h  z ) ) )  <-> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
2013, 19rcla42v 2865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  A  /\  ( -u 1  .h  w
)  e.  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) )  -> 
( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
2221adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  z ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) ) ) )
23 cdj1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  SH
2423, 2shincli 21902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH
2524sheli 21754 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  ~H )
26 normneg 21684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) )  =  ( normh `  w )
)
2726oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( ( normh `  w )  +  ( normh `  w
) ) )
28 normcl 21665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  w )  e.  RR )
2928recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  w )  e.  CC )
30292timesd 9922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
2  x.  ( normh `  w ) )  =  ( ( normh `  w
)  +  ( normh `  w ) ) )
3127, 30eqtr4d 2293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( 2  x.  ( normh `  w ) ) )
3231adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  w
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  =  ( 2  x.  ( normh `  w )
) )
33 hvnegid 21567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
w  +h  ( -u
1  .h  w ) )  =  0h )
3433fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )  =  ( normh `  0h )
)
35 norm0 21668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normh `  0h )  =  0
3634, 35syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) )  =  0 )
3736oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  =  ( x  x.  0 ) )
38 recn 8795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
3938mul01d 8979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4037, 39sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) )  =  0 )
41 2cn 9784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
4241mul01i 8970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
4340, 42syl6eqr 2308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w
) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
4432, 43breq12d 4010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
45 0re 8806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
46 letri3 8875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  w )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  w ) ) ) )
4728, 45, 46sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  w ) ) ) )
48 normge0 21666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  w )
)
4948biantrud 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  <_  0  <->  ( ( normh `  w )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  w ) ) ) )
50 2re 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
51 2pos 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
5250, 51pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
53 lemul2 9577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  w )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( normh `  w
)  <_  0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w
) )  <_  (
2  x.  0 ) ) )
5445, 52, 53mp3an23 1274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  w )  e.  RR  ->  ( ( normh `  w )  <_ 
0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
5528, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  <_  0  <->  ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 ) ) )
5647, 49, 553bitr2rd 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( 2  x.  ( normh `  w ) )  <_  ( 2  x.  0 )  <->  ( normh `  w )  =  0 ) )
57 norm-i 21669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( normh `  w )  =  0  <->  w  =  0h ) )
5856, 57bitrd 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
( 2  x.  ( normh `  w ) )  <_  ( 2  x.  0 )  <->  w  =  0h ) )
5958adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( 2  x.  ( normh `  w )
)  <_  ( 2  x.  0 )  <->  w  =  0h ) )
6044, 59bitrd 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  w  =  0h ) )
6125, 60sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( ( ( normh `  w )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  w ) ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( w  +h  ( -u 1  .h  w ) ) ) )  <->  w  =  0h ) )
6222, 61sylibd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )  -> 
( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  z ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  w  =  0h ) )
6362impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  w  =  0h ) )
64 elch0 21794 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  0H  <->  w  =  0h )
6563, 64syl6ibr 220 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  w  e.  0H ) )
6665ssrdv 3160 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H )
6766ex 425 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H )
)
68 shle0 21982 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  0H  <->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
6924, 68ax-mp 10 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  0H  <->  ( A  i^i  B )  =  0H )
7067, 69syl6ib 219 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
7170adantld 455 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  ( y  +h  z ) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H ) )
7271rexlimiv 2636 1  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  ( y  +h  z
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    i^i cin 3126    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836   -ucneg 9006   2c2 9763   ~Hchil 21460    +h cva 21461    .h csm 21462   normhcno 21464   0hc0v 21465   SHcsh 21469   0Hc0h 21476
This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  22978  cdj3i  22982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hvcom 21542  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvmulass 21548  ax-hvdistr1 21549  ax-hvdistr2 21550  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his3 21624  ax-his4 21625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-seq 11014  df-exp 11072  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-hnorm 21509  df-hvsub 21512  df-sh 21747  df-ch0 21793
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