Theorem cdj3lem3 10299

Description: Lemma for cdj3 10302. Value of the second-component function T.

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem3.3	|- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3	|- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w

Proof of Theorem cdj3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 8810	. . . . . . 7 |- ((D e. H~ /\ C e. H~) -> (D +h C) = (C +h D))
2		cdj3lem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. SH
3	2	shel 9021	. . . . . . 7 |- (D e. B -> D e. H~)
4		cdj3lem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. SH
5	4	shel 9021	. . . . . . 7 |- (C e. A -> C e. H~)
6	1, 3, 5	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((D e. B /\ C e. A) -> (D +h C) = (C +h D))
7	6	fveq2d 3719	. . . . 5 |- ((D e. B /\ C e. A) -> (T` (D +h C)) = (T` (C +h D)))
8	7	3adant3 798	. . . 4 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (D +h C)) = (T` (C +h D)))
9		cdj3lem3.3	. . . . . 6 |- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
10	2, 4	shscom 9270	. . . . . . . . 9 |- (B +H A) = (A +H B)
11	10	eleq2i 1535	. . . . . . . 8 |- (x e. (B +H A) <-> x e. (A +H B))
12		ax-hvcom 8810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. H~ /\ z e. H~) -> (w +h z) = (z +h w))
13	2	shel 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. B -> w e. H~)
14	4	shel 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. A -> z e. H~)
15	12, 13, 14	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (w +h z) = (z +h w))
16	15	eqeq2d 1483	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (x = (w +h z) <-> x = (z +h w)))
17	16	rexbidva 1657	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. B -> (E.z e. A x = (w +h z) <-> E.z e. A x = (z +h w)))
18	17	rabbii 1801	. . . . . . . . . 10 |- {w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = {w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
19	18	unieqi 2506	. . . . . . . . 9 |- U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
20	19	eqeq2i 1482	. . . . . . . 8 |- (y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} <-> y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})
21	11, 20	anbi12i 482	. . . . . . 7 |- ((x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)}) <-> (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}))
22	21	opabbii 2666	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})} = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
23	9, 22	eqtr4 1495	. . . . 5 |- T = {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})}
24	2, 4, 23	cdj3lem2 10296	. . . 4 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (D +h C)) = D)
25	8, 24	eqtr3d 1506	. . 3 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)
26		incom 2204	. . . 4 |- (A i^i B) = (B i^i A)
27	26	eqeq1i 1479	. . 3 |- ((A i^i B) = 0H <-> (B i^i A) = 0H)
28	25, 27	syl3an3b 863	. 2 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)
29	28	3com12 836	1 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  {crab 1645   i^i cin 2042  U.cuni 2498  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  H~chil 8727   +h cva 8728  SHcsh 8736   +H cph 8739  0Hc0h 8743

This theorem is referenced by:  cdj3lem3a 10300  cdj3 10302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-hvsub 8779  df-sh 9015  df-ch0 9064  df-shsum 9211

Copyright terms: Public domain