Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlema1N Unicode version

Theorem cdlema1N 29110
Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlema1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlema1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlema1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlema1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlema1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlema1.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
cdlema1.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlema1N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  =  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem cdlema1N
StepHypRef Expression
1 cdlema1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlema1.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp11 990 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 28683 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 991 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  e.  B )
7 simp23 995 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  e.  A )
8 cdlema1.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
91, 8atbase 28609 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  B )
107, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  e.  B )
11 cdlema1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
121, 11latjcl 14083 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  ( X  .\/  R
)  e.  B )
135, 6, 10, 12syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  e.  B
)
14 simp13 992 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  e.  B )
151, 11latjcl 14083 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
165, 6, 14, 15syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
171, 2, 11latlej1 14093 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
185, 6, 14, 17syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
19 simp21 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  e.  A )
201, 8atbase 28609 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simp22 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  e.  A )
231, 8atbase 28609 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  e.  B )
251, 11latjcl 14083 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
265, 21, 24, 25syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B
)
27 simp31r 1084 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
28 simp32l 1085 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  .<_  X )
29 simp32r 1086 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  Y )
301, 2, 11latjlej12 14100 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
315, 21, 6, 24, 14, 30syl122anc 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
3228, 29, 31mp2and 663 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2, 5, 10, 26, 16, 27, 32lattrd 14091 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 11latjle12 14095 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  R  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
355, 6, 10, 16, 34syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
3618, 33, 35mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
371, 2, 11latlej1 14093 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  R ) )
385, 6, 10, 37syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  .<_  ( X  .\/  R ) )
39 simp331 1113 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
40 simp332 1114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
41 simp333 1115 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  -.  Q  .<_  X )
42 cdlema1.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
431, 2, 42latmle1 14109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
445, 6, 14, 43syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X )
45 breq1 3966 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
4644, 45syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( Q  =  ( X  ./\  Y )  ->  Q  .<_  X ) )
4746necon3bd 2456 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  ->  Q  =/=  ( X  ./\  Y
) ) )
4841, 47mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  =/=  ( X  ./\  Y ) )
491, 2, 42latmle2 14110 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
505, 6, 14, 49syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y )
51 cdlema1.n . . . . . 6  |-  N  =  ( Lines `  K )
52 cdlema1.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
531, 2, 11, 8, 51, 52lneq2at 29097 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( Q  e.  A  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Q  =/=  ( X  ./\  Y ) )  /\  ( Q  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y
) ) )
543, 14, 39, 22, 40, 48, 29, 50, 53syl332anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  =  ( Q  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 11latjcl 14083 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  ( P  .\/  R
)  e.  B )
565, 21, 10, 55syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  B
)
577, 22, 193jca 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A ) )
58 simp31l 1083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  =/=  P )
593, 57, 583jca 1137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  R  =/=  P ) )
602, 11, 8hlatexch1 28714 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  R  =/=  P )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
6159, 27, 60sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) )
6221, 6, 103jca 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B ) )
635, 62jca 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B ) ) )
641, 2, 11latjlej1 14098 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B
) )  ->  ( P  .<_  X  ->  ( P  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
6563, 28, 64sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
661, 2, 5, 24, 56, 13, 61, 65lattrd 14091 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  ( X  .\/  R ) )
671, 2, 11, 42latmlej11 14123 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  R  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) )
685, 6, 14, 10, 67syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
691, 42latmcl 14084 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
705, 6, 14, 69syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
711, 2, 11latjle12 14095 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  ( X  .\/  R )  e.  B ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( X  .\/  R
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )  <-> 
( Q  .\/  ( X  ./\  Y ) ) 
.<_  ( X  .\/  R
) ) )
725, 24, 70, 13, 71syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( X  .\/  R )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
7366, 68, 72mpbi2and 892 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y
) )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
7454, 73eqbrtrd 3983 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )
751, 2, 11latjle12 14095 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  R
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  R )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
765, 6, 14, 13, 75syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  R )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
7738, 74, 76mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
781, 2, 5, 13, 16, 36, 77latasymd 14090 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  =  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   lecple 13142   joincjn 14005   meetcmee 14006   Latclat 14078   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   Linesclines 28813   pmapcpmap 28816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-lines 28820  df-pmap 28823
  Copyright terms: Public domain W3C validator