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Theorem cdlema1N 28669
Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlema1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlema1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlema1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlema1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlema1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlema1.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
cdlema1.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlema1N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  =  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem cdlema1N
StepHypRef Expression
1 cdlema1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlema1.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp11 990 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 28242 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 991 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  e.  B )
7 simp23 995 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  e.  A )
8 cdlema1.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
91, 8atbase 28168 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  B )
107, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  e.  B )
11 cdlema1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
121, 11latjcl 14000 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  ( X  .\/  R
)  e.  B )
135, 6, 10, 12syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  e.  B
)
14 simp13 992 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  e.  B )
151, 11latjcl 14000 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
165, 6, 14, 15syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
171, 2, 11latlej1 14010 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
185, 6, 14, 17syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
19 simp21 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  e.  A )
201, 8atbase 28168 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simp22 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  e.  A )
231, 8atbase 28168 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  e.  B )
251, 11latjcl 14000 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
265, 21, 24, 25syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B
)
27 simp31r 1084 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
28 simp32l 1085 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  .<_  X )
29 simp32r 1086 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  Y )
301, 2, 11latjlej12 14017 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
315, 21, 6, 24, 14, 30syl122anc 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
3228, 29, 31mp2and 663 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2, 5, 10, 26, 16, 27, 32lattrd 14008 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 11latjle12 14012 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  R  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
355, 6, 10, 16, 34syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
3618, 33, 35mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
371, 2, 11latlej1 14010 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  R ) )
385, 6, 10, 37syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  .<_  ( X  .\/  R ) )
39 simp331 1113 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
40 simp332 1114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
41 simp333 1115 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  -.  Q  .<_  X )
42 cdlema1.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
431, 2, 42latmle1 14026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
445, 6, 14, 43syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X )
45 breq1 3923 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
4644, 45syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( Q  =  ( X  ./\  Y )  ->  Q  .<_  X ) )
4746necon3bd 2449 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  ->  Q  =/=  ( X  ./\  Y
) ) )
4841, 47mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  =/=  ( X  ./\  Y ) )
491, 2, 42latmle2 14027 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
505, 6, 14, 49syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y )
51 cdlema1.n . . . . . 6  |-  N  =  ( Lines `  K )
52 cdlema1.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
531, 2, 11, 8, 51, 52lneq2at 28656 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( Q  e.  A  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Q  =/=  ( X  ./\  Y ) )  /\  ( Q  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y
) ) )
543, 14, 39, 22, 40, 48, 29, 50, 53syl332anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  =  ( Q  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 11latjcl 14000 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  ( P  .\/  R
)  e.  B )
565, 21, 10, 55syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  B
)
577, 22, 193jca 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A ) )
58 simp31l 1083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  =/=  P )
593, 57, 583jca 1137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  R  =/=  P ) )
602, 11, 8hlatexch1 28273 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  R  =/=  P )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
6159, 27, 60sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) )
6221, 6, 103jca 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B ) )
635, 62jca 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B ) ) )
641, 2, 11latjlej1 14015 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B
) )  ->  ( P  .<_  X  ->  ( P  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
6563, 28, 64sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
661, 2, 5, 24, 56, 13, 61, 65lattrd 14008 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  ( X  .\/  R ) )
671, 2, 11, 42latmlej11 14040 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  R  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) )
685, 6, 14, 10, 67syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
691, 42latmcl 14001 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
705, 6, 14, 69syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
711, 2, 11latjle12 14012 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  ( X  .\/  R )  e.  B ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( X  .\/  R
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )  <-> 
( Q  .\/  ( X  ./\  Y ) ) 
.<_  ( X  .\/  R
) ) )
725, 24, 70, 13, 71syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( X  .\/  R )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
7366, 68, 72mpbi2and 892 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y
) )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
7454, 73eqbrtrd 3940 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )
751, 2, 11latjle12 14012 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  R
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  R )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
765, 6, 14, 13, 75syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  R )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
7738, 74, 76mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
781, 2, 5, 13, 16, 36, 77latasymd 14007 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  =  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   meetcmee 13923   Latclat 13995   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   Linesclines 28372   pmapcpmap 28375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-lines 28379  df-pmap 28382
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