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Theorem cdlema1N 29906
Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlema1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlema1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlema1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlema1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlema1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlema1.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
cdlema1.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlema1N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  =  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem cdlema1N
StepHypRef Expression
1 cdlema1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlema1.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 29479 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 988 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  e.  B )
7 simp23 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  e.  A )
8 cdlema1.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
91, 8atbase 29405 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  B )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  e.  B )
11 cdlema1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
121, 11latjcl 14407 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  ( X  .\/  R
)  e.  B )
135, 6, 10, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  e.  B
)
14 simp13 989 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  e.  B )
151, 11latjcl 14407 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
165, 6, 14, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
171, 2, 11latlej1 14417 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
185, 6, 14, 17syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
19 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  e.  A )
201, 8atbase 29405 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simp22 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  e.  A )
231, 8atbase 29405 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  e.  B )
251, 11latjcl 14407 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
265, 21, 24, 25syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B
)
27 simp31r 1081 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
28 simp32l 1082 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  P  .<_  X )
29 simp32r 1083 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  Y )
301, 2, 11latjlej12 14424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
315, 21, 6, 24, 14, 30syl122anc 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
3228, 29, 31mp2and 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2, 5, 10, 26, 16, 27, 32lattrd 14415 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 11latjle12 14419 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  R  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
355, 6, 10, 16, 34syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  R  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
3618, 33, 35mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
371, 2, 11latlej1 14417 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  R ) )
385, 6, 10, 37syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  X  .<_  ( X  .\/  R ) )
39 simp331 1110 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
40 simp332 1111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
41 simp333 1112 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  -.  Q  .<_  X )
42 cdlema1.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
431, 2, 42latmle1 14433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
445, 6, 14, 43syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X )
45 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
4644, 45syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( Q  =  ( X  ./\  Y )  ->  Q  .<_  X ) )
4746necon3bd 2588 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  ->  Q  =/=  ( X  ./\  Y
) ) )
4841, 47mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  =/=  ( X  ./\  Y ) )
491, 2, 42latmle2 14434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
505, 6, 14, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y )
51 cdlema1.n . . . . . 6  |-  N  =  ( Lines `  K )
52 cdlema1.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
531, 2, 11, 8, 51, 52lneq2at 29893 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( Q  e.  A  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Q  =/=  ( X  ./\  Y ) )  /\  ( Q  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y
) ) )
543, 14, 39, 22, 40, 48, 29, 50, 53syl332anc 1215 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  =  ( Q  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 11latjcl 14407 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  R  e.  B )  ->  ( P  .\/  R
)  e.  B )
565, 21, 10, 55syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  B
)
577, 22, 193jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A ) )
58 simp31l 1080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  R  =/=  P )
593, 57, 583jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  R  =/=  P ) )
602, 11, 8hlatexch1 29510 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  R  =/=  P )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
6159, 27, 60sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) )
6221, 6, 103jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B ) )
635, 62jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B ) ) )
641, 2, 11latjlej1 14422 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  R  e.  B
) )  ->  ( P  .<_  X  ->  ( P  .\/  R )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
6563, 28, 64sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
661, 2, 5, 24, 56, 13, 61, 65lattrd 14415 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Q  .<_  ( X  .\/  R ) )
671, 2, 11, 42latmlej11 14447 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  R  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) )
685, 6, 14, 10, 67syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
691, 42latmcl 14408 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
705, 6, 14, 69syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
711, 2, 11latjle12 14419 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  ( X  .\/  R )  e.  B ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( X  .\/  R
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )  <-> 
( Q  .\/  ( X  ./\  Y ) ) 
.<_  ( X  .\/  R
) ) )
725, 24, 70, 13, 71syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( X  .\/  R )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
7366, 68, 72mpbi2and 888 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  Y
) )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
7454, 73eqbrtrd 4174 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )
751, 2, 11latjle12 14419 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  R
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  R )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
765, 6, 14, 13, 75syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  R )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  R ) )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X  .\/  R ) ) )
7738, 74, 76mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  ( X 
.\/  R ) )
781, 2, 5, 13, 16, 36, 77latasymd 14414 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( R  =/=  P  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( P  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  /\  (
( F `  Y
)  e.  N  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  -.  Q  .<_  X ) ) )  ->  ( X  .\/  R )  =  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   lecple 13464   joincjn 14329   meetcmee 14330   Latclat 14402   Atomscatm 29379   HLchlt 29466   Linesclines 29609   pmapcpmap 29612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-lat 14403  df-clat 14465  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-lines 29616  df-pmap 29619
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