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Theorem cdlemc2 30828
Description: Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemc2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemc2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemc2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemc2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemc2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemc2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )

Proof of Theorem cdlemc2
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp3ll 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
3 simp3rl 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  Q  e.  A )
4 cdlemc2.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemc2.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemc2.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
74, 5, 6hlatlej2 30012 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
81, 2, 3, 7syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q
) )
9 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1110, 6atbase 29926 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
123, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
13 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
14 cdlemc2.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdlemc2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1610, 4, 5, 14, 6, 15cdlemc1 30827 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  Q ) )
179, 12, 13, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
188, 17breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
19 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  F  e.  T )
20 hllat 30000 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
211, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
2210, 6atbase 29926 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
232, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2410, 5latjcl 14467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
2521, 23, 12, 24syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
26 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
2710, 15lhpbase 30634 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2910, 14latmcl 14468 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
3021, 25, 28, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
3110, 5latjcl 14467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
3221, 23, 30, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
33 cdlemc2.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3410, 4, 15, 33ltrnle 30765 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( Q  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) )  <-> 
( F `  Q
)  .<_  ( F `  ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) ) ) ) )
359, 19, 12, 32, 34syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  <->  ( F `  Q )  .<_  ( F `
 ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
3618, 35mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( F `  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) ) )
3710, 5, 15, 33ltrnj 30768 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( F `  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( F `  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) ) ) )
389, 19, 23, 30, 37syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( F `  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )
3910, 4, 14latmle2 14494 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
4021, 25, 28, 39syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  .<_  W )
4110, 4, 15, 33ltrnval1 30770 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( F `  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) )
429, 19, 30, 40, 41syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)
4342oveq2d 6088 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( F `  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) ) )
4438, 43eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  ( P  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) ) )
4536, 44breqtrd 4228 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   joincjn 14389   meetcmee 14390   Latclat 14462   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   LHypclh 30620   LTrncltrn 30737
This theorem is referenced by:  cdlemc5  30831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-map 7011  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741
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