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Theorem cdlemd7 30840
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemd4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemd4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemd4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemd4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemd7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  R )  =  ( G `  R ) )

Proof of Theorem cdlemd7
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A ) )
2 simp2l 983 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp2r 984 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp11l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
5 hllat 30000 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
7 simp2rl 1026 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
9 cdlemd4.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
108, 9atbase 29926 . . . 4  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
117, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12 simp2ll 1024 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  P  e.  A )
138, 9atbase 29926 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
15 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simp12l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  F  e.  T )
17 cdlemd4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 cdlemd4.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
198, 17, 18ltrncl 30761 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
2015, 16, 14, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )
21 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
22 cdlemd4.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
23 cdlemd4.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
248, 22, 23latnlej1l 14486 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  Q  =/=  P )
2524necomd 2681 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  P  =/=  Q )
266, 11, 14, 20, 21, 25syl131anc 1197 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
27 simp3l 985 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  P ) )
28 simp12 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)
2922, 23, 9, 17, 18cdlemd6 30839 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  /\  ( F `  P )  =  ( G `  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( G `
 Q ) )
3015, 28, 2, 3, 21, 27, 29syl231anc 1204 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  =  ( G `  Q ) )
3122, 23, 9, 17, 18cdlemd5 30838 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q )  /\  (
( F `  P
)  =  ( G `
 P )  /\  ( F `  Q )  =  ( G `  Q ) ) )  ->  ( F `  R )  =  ( G `  R ) )
321, 2, 3, 26, 27, 30, 31syl132anc 1202 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  R )  =  ( G `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   joincjn 14389   Latclat 14462   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   LHypclh 30620   LTrncltrn 30737
This theorem is referenced by:  cdlemd9  30842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-map 7011  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795
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