Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11 Unicode version

Theorem cdleme11 29709
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 1st sentence of 3rd paragraph on p. 114.  F and  G represent f(s) and f(t) respectively. Their proof provides no details of our cdleme11a 29699 through cdleme11 29709, so there may be a simpler proof that we have overlooked. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme12.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme12.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme12.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( F  .\/  G
)  =  ( S 
.\/  T ) )

Proof of Theorem cdleme11
StepHypRef Expression
1 simp11l 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 28803 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp11 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp12l 1073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  e.  A )
6 simp13l 1075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 cdleme12.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdleme12.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme12.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdleme12.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdleme12.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdleme12.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
13 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme0aa 29649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
154, 5, 6, 14syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  e.  ( Base `  K ) )
1613, 8latjidm 14143 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  U  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( U  .\/  U
)  =  U )
173, 15, 16syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( U  .\/  U
)  =  U )
1817oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  .\/  ( U 
.\/  U ) )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
19 simp33 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  .<_  ( S  .\/  T ) )
20 simp21l 1077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  e.  A )
2113, 10atbase 28729 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
23 simp22l 1079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  T  e.  A )
2413, 10atbase 28729 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  A  ->  T  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  T  e.  ( Base `  K ) )
2613, 8latjcl 14119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  T  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
) )
273, 22, 25, 26syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
2813, 7, 8latleeqj2 14133 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( U  .<_  ( S  .\/  T )  <->  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  =  ( S 
.\/  T ) ) )
293, 15, 27, 28syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( U  .<_  ( S 
.\/  T )  <->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( S 
.\/  T ) ) )
3019, 29mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( S  .\/  T ) )
3118, 30eqtr2d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( S  .\/  T
)  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  ( U  .\/  U ) ) )
32 simp21 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
33 cdleme12.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
347, 8, 9, 10, 11, 12, 33cdleme1 29666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )  ->  ( S  .\/  F )  =  ( S  .\/  U ) )
354, 5, 6, 32, 34syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( S  .\/  F
)  =  ( S 
.\/  U ) )
36 simp22 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
37 cdleme12.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
387, 8, 9, 10, 11, 12, 37cdleme1 29666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) ) )  ->  ( T  .\/  G )  =  ( T  .\/  U ) )
394, 5, 6, 36, 38syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( T  .\/  G
)  =  ( T 
.\/  U ) )
4035, 39oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  F )  .\/  ( T 
.\/  G ) )  =  ( ( S 
.\/  U )  .\/  ( T  .\/  U ) ) )
4113, 8latj4 14170 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  T  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( U  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  T )  .\/  ( U  .\/  U ) )  =  ( ( S  .\/  U ) 
.\/  ( T  .\/  U ) ) )
423, 22, 25, 15, 15, 41syl122anc 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  .\/  ( U 
.\/  U ) )  =  ( ( S 
.\/  U )  .\/  ( T  .\/  U ) ) )
4340, 42eqtr4d 2293 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  F )  .\/  ( T 
.\/  G ) )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  ( U  .\/  U ) ) )
4431, 43eqtr4d 2293 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( S  .\/  T
)  =  ( ( S  .\/  F ) 
.\/  ( T  .\/  G ) ) )
457, 8, 9, 10, 11, 12, 33, 13cdleme1b 29665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
464, 5, 6, 20, 45syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
477, 8, 9, 10, 11, 12, 37, 13cdleme1b 29665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
484, 5, 6, 23, 47syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
4913, 8latj4 14170 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  F  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( T  e.  ( Base `  K )  /\  G  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  F )  .\/  ( T  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  ( F  .\/  G ) ) )
503, 22, 46, 25, 48, 49syl122anc 1196 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  F )  .\/  ( T 
.\/  G ) )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  ( F  .\/  G ) ) )
5144, 50eqtr2d 2291 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  .\/  ( F 
.\/  G ) )  =  ( S  .\/  T ) )
5213, 8latjcl 14119 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  G  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  ( Base `  K
) )
533, 46, 48, 52syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( F  .\/  G
)  e.  ( Base `  K ) )
5413, 7, 8latleeqj2 14133 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  .\/  G )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( S  .\/  T )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( F  .\/  G )  .<_  ( S  .\/  T )  <-> 
( ( S  .\/  T )  .\/  ( F 
.\/  G ) )  =  ( S  .\/  T ) ) )
553, 53, 27, 54syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  .<_  ( S  .\/  T )  <->  ( ( S  .\/  T )  .\/  ( F  .\/  G ) )  =  ( S 
.\/  T ) ) )
5651, 55mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( F  .\/  G
)  .<_  ( S  .\/  T ) )
57 simp12 991 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
58 simp13 992 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
59 simp23l 1081 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  =/=  Q )
60 simp31 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
617, 8, 9, 10, 11, 12, 33cdleme3fa 29675 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
624, 57, 58, 32, 59, 60, 61syl132anc 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  F  e.  A )
63 simp32 997 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
647, 8, 9, 10, 11, 12, 37cdleme3fa 29675 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  A )
654, 57, 58, 36, 59, 63, 64syl132anc 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  G  e.  A )
667, 8, 9, 10, 11, 12, 33, 37cdleme11l 29708 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  F  =/=  G )
677, 8, 10ps-1 28916 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F  e.  A  /\  G  e.  A  /\  F  =/=  G
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  .<_  ( S  .\/  T )  <->  ( F  .\/  G )  =  ( S  .\/  T ) ) )
681, 62, 65, 66, 20, 23, 67syl132anc 1205 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  .<_  ( S  .\/  T )  <->  ( F  .\/  G )  =  ( S  .\/  T ) ) )
6956, 68mpbid 203 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  -> 
( F  .\/  G
)  =  ( S 
.\/  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111   lecple 13178   joincjn 14041   meetcmee 14042   Latclat 14114   Atomscatm 28703   HLchlt 28790   LHypclh 29423
This theorem is referenced by:  cdleme16  29724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427
  Copyright terms: Public domain W3C validator