Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11c Unicode version

Theorem cdleme11c 31072
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 31081. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme11.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme11.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme11.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme11.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme11c  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( S  .\/  T ) )

Proof of Theorem cdleme11c
StepHypRef Expression
1 simp3l 983 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2 simp11l 1066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp12l 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  e.  A )
4 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
6 simp13 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 simp23 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  =/=  Q )
8 cdleme11.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdleme11.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdleme11.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdleme11.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdleme11.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdleme11.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
148, 9, 10, 11, 12, 13lhpat2 30856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
154, 5, 6, 7, 14syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  e.  A )
168, 9, 11hlatlej1 30186 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  U ) )
172, 3, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  U
) )
1817adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  U
) )
196, 7jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )
20 simp21 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
21 simp22 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  T  e.  A )
22 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  .<_  ( S  .\/  T
) )
2321, 22jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
248, 9, 10, 11, 12, 13cdleme11a 31071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( S  .\/  U
)  =  ( S 
.\/  T ) )
254, 5, 19, 20, 23, 24syl122anc 1191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( S  .\/  U )  =  ( S  .\/  T
) )
2625breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  U )  <->  P  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )
27 simp21l 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  e.  A )
288, 9, 10, 11, 12, 13cdleme0b 31023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A )  ->  U  =/=  P )
294, 5, 6, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  =/=  P )
3029necomd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  =/=  U )
318, 9, 11hlatexch2 30207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A
)  /\  P  =/=  U )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  U
)  ->  S  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
322, 3, 27, 15, 30, 31syl131anc 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  U )  ->  S  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
3326, 32sylbird 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  ->  S  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
3433imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  U
) )
358, 9, 11hlatlej2 30187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
362, 3, 6, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q
) )
378, 9, 10, 11, 12, 13cdleme0cp 31025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q ) )
384, 5, 6, 37syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q
) )
3936, 38breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
41 hllat 30175 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
422, 41syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  K  e.  Lat )
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4443, 11atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4527, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4643, 11atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
476, 46syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4843, 9, 11hlatjcl 30178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
492, 3, 15, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
5043, 8, 9latjle12 14184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( S  .<_  ( P  .\/  U )  /\  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  <-> 
( S  .\/  Q
)  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
5142, 45, 47, 49, 50syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  (
( S  .<_  ( P 
.\/  U )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  <->  ( S  .\/  Q )  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )
5251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  (
( S  .<_  ( P 
.\/  U )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  <->  ( S  .\/  Q )  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )
5334, 40, 52mpbi2and 887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  ( S  .\/  Q )  .<_  ( P  .\/  U ) )
5443, 11atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
553, 54syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5643, 8, 9latnlej1r 14192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  S  =/=  Q )
5742, 45, 55, 47, 1, 56syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  =/=  Q )
588, 9, 11ps-1 30288 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  =/=  Q
)  /\  ( P  e.  A  /\  U  e.  A ) )  -> 
( ( S  .\/  Q )  .<_  ( P  .\/  U )  <->  ( S  .\/  Q )  =  ( P  .\/  U ) ) )
592, 27, 6, 57, 3, 15, 58syl132anc 1200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  (
( S  .\/  Q
)  .<_  ( P  .\/  U )  <->  ( S  .\/  Q )  =  ( P 
.\/  U ) ) )
6059adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  (
( S  .\/  Q
)  .<_  ( P  .\/  U )  <->  ( S  .\/  Q )  =  ( P 
.\/  U ) ) )
6153, 60mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  ( S  .\/  Q )  =  ( P  .\/  U
) )
6218, 61breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  P  .<_  ( S  .\/  Q
) )
6362ex 423 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  ->  P  .<_  ( S  .\/  Q ) ) )
648, 9, 11hlatexch2 30207 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  Q
)  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
652, 3, 27, 6, 7, 64syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  Q )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
6663, 65syld 40 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
671, 66mtod 168 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( S  .\/  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme11dN  31073  cdleme11e  31074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator