Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11c Unicode version

Theorem cdleme11c 29580
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 29589. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme11.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme11.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme11.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme11.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme11c  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( S  .\/  T ) )

Proof of Theorem cdleme11c
StepHypRef Expression
1 simp3l 988 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2 simp11l 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp12l 1073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  e.  A )
4 simp11 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp12 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
6 simp13 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 simp23 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  =/=  Q )
8 cdleme11.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdleme11.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdleme11.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdleme11.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdleme11.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdleme11.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
148, 9, 10, 11, 12, 13lhpat2 29364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
154, 5, 6, 7, 14syl112anc 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  e.  A )
168, 9, 11hlatlej1 28694 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  U ) )
172, 3, 15, 16syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  U
) )
1817adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  U
) )
196, 7jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )
20 simp21 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
21 simp22 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  T  e.  A )
22 simp3r 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  .<_  ( S  .\/  T
) )
2321, 22jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
248, 9, 10, 11, 12, 13cdleme11a 29579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( S  .\/  U
)  =  ( S 
.\/  T ) )
254, 5, 19, 20, 23, 24syl122anc 1196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( S  .\/  U )  =  ( S  .\/  T
) )
2625breq2d 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  U )  <->  P  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )
27 simp21l 1077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  e.  A )
288, 9, 10, 11, 12, 13cdleme0b 29531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A )  ->  U  =/=  P )
294, 5, 6, 28syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  U  =/=  P )
3029necomd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  =/=  U )
318, 9, 11hlatexch2 28715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A
)  /\  P  =/=  U )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  U
)  ->  S  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
322, 3, 27, 15, 30, 31syl131anc 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  U )  ->  S  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
3326, 32sylbird 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  ->  S  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
3433imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  U
) )
358, 9, 11hlatlej2 28695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
362, 3, 6, 35syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q
) )
378, 9, 10, 11, 12, 13cdleme0cp 29533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q ) )
384, 5, 6, 37syl12anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q
) )
3936, 38breqtrrd 3989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
4039adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
41 hllat 28683 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
422, 41syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  K  e.  Lat )
43 eqid 2256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4443, 11atbase 28609 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4527, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4643, 11atbase 28609 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
476, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4843, 9, 11hlatjcl 28686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
492, 3, 15, 48syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
5043, 8, 9latjle12 14095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( S  .<_  ( P  .\/  U )  /\  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  <-> 
( S  .\/  Q
)  .<_  ( P  .\/  U ) ) )
5142, 45, 47, 49, 50syl13anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  (
( S  .<_  ( P 
.\/  U )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  <->  ( S  .\/  Q )  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )
5251adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  (
( S  .<_  ( P 
.\/  U )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  <->  ( S  .\/  Q )  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )
5334, 40, 52mpbi2and 892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  ( S  .\/  Q )  .<_  ( P  .\/  U ) )
5443, 11atbase 28609 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
553, 54syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5643, 8, 9latnlej1r 14103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  S  =/=  Q )
5742, 45, 55, 47, 1, 56syl131anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  S  =/=  Q )
588, 9, 11ps-1 28796 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  =/=  Q
)  /\  ( P  e.  A  /\  U  e.  A ) )  -> 
( ( S  .\/  Q )  .<_  ( P  .\/  U )  <->  ( S  .\/  Q )  =  ( P  .\/  U ) ) )
592, 27, 6, 57, 3, 15, 58syl132anc 1205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  (
( S  .\/  Q
)  .<_  ( P  .\/  U )  <->  ( S  .\/  Q )  =  ( P 
.\/  U ) ) )
6059adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  (
( S  .\/  Q
)  .<_  ( P  .\/  U )  <->  ( S  .\/  Q )  =  ( P 
.\/  U ) ) )
6153, 60mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  ( S  .\/  Q )  =  ( P  .\/  U
) )
6218, 61breqtrrd 3989 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T
) )  ->  P  .<_  ( S  .\/  Q
) )
6362ex 425 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  ->  P  .<_  ( S  .\/  Q ) ) )
648, 9, 11hlatexch2 28715 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  Q
)  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
652, 3, 27, 6, 7, 64syl131anc 1200 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  Q )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
6663, 65syld 42 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
671, 66mtod 170 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( S  .\/  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   lecple 13142   joincjn 14005   meetcmee 14006   Latclat 14078   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   LHypclh 29303
This theorem is referenced by:  cdleme11dN  29581  cdleme11e  29582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator