Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme16e Unicode version

Theorem cdleme16e 30447
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph on p. 114, 3rd part of 3rd sentence.  F and  G represent f(s) and f(t) respectively. We show, in their notation, (s  \/ t)  /\ (f(s)  \/ f(t))=(s  \/ t)  /\ w. (Contributed by NM, 11-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme12.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme12.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme12.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme16e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W ) )

Proof of Theorem cdleme16e
StepHypRef Expression
1 simp11l 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29529 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21l 1074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  S  e.  A )
5 simp22l 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  T  e.  A )
6 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 cdleme12.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 cdleme12.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
96, 7, 8hlatjcl 29532 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
101, 4, 5, 9syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( S  .\/  T )  e.  (
Base `  K )
)
11 simp11 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
13 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
14 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
15 simp23l 1078 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  P  =/=  Q )
16 simp31 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
17 cdleme12.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 cdleme12.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme12.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
20 cdleme12.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
21 cdleme12.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2217, 7, 18, 8, 19, 20, 21cdleme3fa 30401 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
2311, 12, 13, 14, 15, 16, 22syl132anc 1202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  F  e.  A )
24 simp22 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
25 simp32 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
26 cdleme12.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2717, 7, 18, 8, 19, 20, 26cdleme3fa 30401 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  A )
2811, 12, 13, 24, 15, 25, 27syl132anc 1202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  G  e.  A )
296, 7, 8hlatjcl 29532 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( F  .\/  G
)  e.  ( Base `  K ) )
301, 23, 28, 29syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)
316, 17, 18latmle1 14425 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T ) )
323, 10, 30, 31syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T ) )
3317, 7, 18, 8, 19, 20, 21, 26cdleme15 30443 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )
346, 18latmcl 14400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K ) )
353, 10, 30, 34syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K ) )
36 simp11r 1069 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  W  e.  H )
376, 19lhpbase 30163 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
396, 17, 18latlem12 14427 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T )  /\  (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )  <->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) ) )
403, 35, 10, 38, 39syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T )  /\  ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
4132, 33, 40mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) )
42 hlatl 29526 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
431, 42syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  AtLat
)
4417, 7, 18, 8, 19, 20, 21, 26cdleme16d 30446 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  A )
45 simp21r 1075 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
46 simp23r 1079 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  S  =/=  T )
4717, 7, 18, 8, 19lhpat 30208 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  S  =/=  T ) )  ->  ( ( S 
.\/  T )  ./\  W )  e.  A )
481, 36, 4, 45, 5, 46, 47syl222anc 1200 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  e.  A )
4917, 8atcmp 29477 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  A  /\  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W )  e.  A )  ->  (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
5043, 44, 48, 49syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
5141, 50mpbid 202 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   joincjn 14321   meetcmee 14322   Latclat 14394   Atomscatm 29429   AtLatcal 29430   HLchlt 29516   LHypclh 30149
This theorem is referenced by:  cdleme16g  30449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153
  Copyright terms: Public domain W3C validator