Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme16e Structured version   Unicode version

Theorem cdleme16e 31253
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph on p. 114, 3rd part of 3rd sentence.  F and  G represent f(s) and f(t) respectively. We show, in their notation, (s  \/ t)  /\ (f(s)  \/ f(t))=(s  \/ t)  /\ w. (Contributed by NM, 11-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme12.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme12.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme12.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme16e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W ) )

Proof of Theorem cdleme16e
StepHypRef Expression
1 simp11l 1069 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30335 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21l 1075 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  S  e.  A )
5 simp22l 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  T  e.  A )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 cdleme12.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 cdleme12.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
96, 7, 8hlatjcl 30338 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
101, 4, 5, 9syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( S  .\/  T )  e.  (
Base `  K )
)
11 simp11 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simp12 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
13 simp13 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
14 simp21 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
15 simp23l 1079 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  P  =/=  Q )
16 simp31 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
17 cdleme12.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 cdleme12.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme12.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
20 cdleme12.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
21 cdleme12.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2217, 7, 18, 8, 19, 20, 21cdleme3fa 31207 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
2311, 12, 13, 14, 15, 16, 22syl132anc 1203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  F  e.  A )
24 simp22 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
25 simp32 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
26 cdleme12.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2717, 7, 18, 8, 19, 20, 26cdleme3fa 31207 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  A )
2811, 12, 13, 24, 15, 25, 27syl132anc 1203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  G  e.  A )
296, 7, 8hlatjcl 30338 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( F  .\/  G
)  e.  ( Base `  K ) )
301, 23, 28, 29syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)
316, 17, 18latmle1 14543 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T ) )
323, 10, 30, 31syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T ) )
3317, 7, 18, 8, 19, 20, 21, 26cdleme15 31249 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )
346, 18latmcl 14518 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K ) )
353, 10, 30, 34syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K ) )
36 simp11r 1070 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  W  e.  H )
376, 19lhpbase 30969 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
396, 17, 18latlem12 14545 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T )  /\  (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )  <->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) ) )
403, 35, 10, 38, 39syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T )  /\  ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
4132, 33, 40mpbi2and 889 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) )
42 hlatl 30332 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
431, 42syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  AtLat
)
4417, 7, 18, 8, 19, 20, 21, 26cdleme16d 31252 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  A )
45 simp21r 1076 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
46 simp23r 1080 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  S  =/=  T )
4717, 7, 18, 8, 19lhpat 31014 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  S  =/=  T ) )  ->  ( ( S 
.\/  T )  ./\  W )  e.  A )
481, 36, 4, 45, 5, 46, 47syl222anc 1201 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  e.  A )
4917, 8atcmp 30283 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  A  /\  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W )  e.  A )  ->  (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
5043, 44, 48, 49syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
5141, 50mpbid 203 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Basecbs 13507   lecple 13574   joincjn 14439   meetcmee 14440   Latclat 14512   Atomscatm 30235   AtLatcal 30236   HLchlt 30322   LHypclh 30955
This theorem is referenced by:  cdleme16g  31255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-undef 6579  df-riota 6585  df-poset 14441  df-plt 14453  df-lub 14469  df-glb 14470  df-join 14471  df-meet 14472  df-p0 14506  df-p1 14507  df-lat 14513  df-clat 14575  df-oposet 30148  df-ol 30150  df-oml 30151  df-covers 30238  df-ats 30239  df-atl 30270  df-cvlat 30294  df-hlat 30323  df-llines 30469  df-lplanes 30470  df-lvols 30471  df-lines 30472  df-psubsp 30474  df-pmap 30475  df-padd 30767  df-lhyp 30959
  Copyright terms: Public domain W3C validator