Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme18d Unicode version

Theorem cdleme18d 29614
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 114, 4th sentence of 4th paragraph.  F,  G,  D,  E represent f(s), fs(r), f(t), ft(r) respectively. We show fs(r)=ft(r) for all possible r (which must equal p or q in the case of exactly 3 atoms in p  \/ q/0 i.e. when  -.  E. r  e.  A...). (Contributed by NM, 12-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme18d.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme18d.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme18d.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme18d.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme18d.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme18d.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme18d.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme18d.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme18d.d  |-  D  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme18d.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme18d  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E )
Distinct variable groups:    A, r    D, r    F, r    .\/ , r    .<_ , r   
./\ , r    P, r    Q, r    R, r    S, r    T, r    W, r
Allowed substitution hints:    U( r)    E( r)    G( r)    H( r)    K( r)

Proof of Theorem cdleme18d
StepHypRef Expression
1 eleq1 2316 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  ( R  e.  A  <->  P  e.  A ) )
2 breq1 3966 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  P  ->  ( R  .<_  W  <->  P  .<_  W ) )
32notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  ( -.  R  .<_  W  <->  -.  P  .<_  W ) )
41, 3anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( R  =  P  ->  (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  <-> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )
543anbi1d 1261 . . . . . 6  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  <->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) ) ) )
653anbi2d 1262 . . . . 5  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  <-> 
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) ) ) )
7 simp11 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp21 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
9 simp13l 1075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
10 simp22 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
11 simp322 1111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
12 cdleme18d.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme18d.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme18d.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme18d.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme18d.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme18d.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme18d.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
19 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme17d1 29608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  Q )
217, 8, 9, 10, 11, 20syl131anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  Q )
22 simp23 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
23 simp323 1112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
24 cdleme18d.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
25 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2612, 13, 14, 15, 16, 17, 24, 25cdleme17d1 29608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  Q )
277, 8, 9, 22, 23, 26syl131anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T ) 
./\  W ) ) )  =  Q )
2821, 27eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
296, 28syl6bi 221 . . . 4  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
30 cdleme18d.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
31 cdleme18d.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )
3230, 31eqeq12i 2269 . . . . 5  |-  ( G  =  E  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
33 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  P  ->  ( R  .\/  S )  =  ( P  .\/  S
) )
3433oveq1d 5772 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )
3534oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( R  =  P  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
3635oveq2d 5773 . . . . . 6  |-  ( R  =  P  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
37 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  P  ->  ( R  .\/  T )  =  ( P  .\/  T
) )
3837oveq1d 5772 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  (
( R  .\/  T
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  T )  ./\  W ) )
3938oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( R  =  P  ->  ( D  .\/  ( ( R 
.\/  T )  ./\  W ) )  =  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T ) 
./\  W ) ) )
4039oveq2d 5773 . . . . . 6  |-  ( R  =  P  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
4136, 40eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
4232, 41syl5bb 250 . . . 4  |-  ( R  =  P  ->  ( G  =  E  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
4329, 42sylibrd 227 . . 3  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E ) )
4443com12 29 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( R  =  P  ->  G  =  E ) )
45 eleq1 2316 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  e.  A  <->  Q  e.  A ) )
46 breq1 3966 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .<_  W  <->  Q  .<_  W ) )
4746notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  ( -.  R  .<_  W  <->  -.  Q  .<_  W ) )
4845, 47anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  <-> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
49483anbi1d 1261 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  <->  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) ) ) )
50 breq1 3966 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  Q  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
51503anbi1d 1261 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )
52513anbi2d 1262 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )  <->  ( P  =/=  Q  /\  ( Q 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
5349, 523anbi23d 1260 . . . . 5  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  <-> 
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) ) ) )
54 simp11l 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
55 simp11r 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  W  e.  H
)
56 simp12 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
57 simp21 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
58 simp22 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
59 simp31 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
60 simp322 1111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
61 simp33 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )
62 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) )
6312, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 62cdleme18c 29612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  P )
6454, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 63syl233anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  P )
65 simp23 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
66 simp323 1112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
67 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) )
6812, 13, 14, 15, 16, 17, 24, 67cdleme18c 29612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  P )
6954, 55, 56, 57, 65, 59, 66, 61, 68syl233anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T ) 
./\  W ) ) )  =  P )
7064, 69eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
7153, 70syl6bi 221 . . . 4  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
72 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .\/  S )  =  ( Q  .\/  S
) )
7372oveq1d 5772 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  =  ( ( Q 
.\/  S )  ./\  W ) )
7473oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
7574oveq2d 5773 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
76 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .\/  T )  =  ( Q  .\/  T
) )
7776oveq1d 5772 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  .\/  T
)  ./\  W )  =  ( ( Q 
.\/  T )  ./\  W ) )
7877oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  ( D  .\/  ( ( R 
.\/  T )  ./\  W ) )  =  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T ) 
./\  W ) ) )
7978oveq2d 5773 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
8075, 79eqeq12d 2270 . . . . 5  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
8132, 80syl5bb 250 . . . 4  |-  ( R  =  Q  ->  ( G  =  E  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
8271, 81sylibrd 227 . . 3  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E ) )
8382com12 29 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( R  =  Q  ->  G  =  E ) )
84 simp11l 1071 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
85 simp321 1110 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
86 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )
87 simp12l 1073 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  e.  A
)
88 simp13l 1075 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
89 simp31 996 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
90 simp21l 1077 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  R  e.  A
)
91 simp21r 1078 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
9212, 13, 15cdleme0nex 29609 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/= 
Q )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( R  =  P  \/  R  =  Q ) )
9384, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92syl332anc 1218 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( R  =  P  \/  R  =  Q ) )
9444, 83, 93mpjaod 372 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   lecple 13142   joincjn 14005   meetcmee 14006   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   LHypclh 29303
This theorem is referenced by:  cdleme21  29656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator