Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme19e Unicode version

Theorem cdleme19e 29775
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 5th paragraph on p. 114, line 2.  D,  F,  Y,  G represent s2, f(s), t2, f(t). We prove f(s)  \/ s2=f(t)  \/ t2. (Contributed by NM, 14-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme19.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme19.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme19.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme19.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme19.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme19.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme19.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme19.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme19.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme19e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  D )  =  ( G  .\/  Y
) )

Proof of Theorem cdleme19e
StepHypRef Expression
1 simp11l 1066 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 28832 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp11r 1067 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  W  e.  H )
5 simp12l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  P  e.  A )
6 simp13l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 simp21l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  S  e.  A )
8 cdleme19.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdleme19.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdleme19.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdleme19.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdleme19.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdleme19.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
14 cdleme19.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
15 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdleme1b 29694 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
171, 4, 5, 6, 7, 16syl23anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K
) )
18 simp22l 1074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  T  e.  A )
19 cdleme19.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
208, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 15cdleme1b 29694 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
211, 4, 5, 6, 18, 20syl23anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  G  e.  ( Base `  K
) )
2215, 9latjcom 14161 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  G  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  G )  =  ( G  .\/  F
) )
233, 17, 21, 22syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  =  ( G  .\/  F
) )
24 cdleme19.d . . 3  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
25 cdleme19.y . . 3  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
268, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 24, 25cdleme19d 29774 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  D )  =  ( F  .\/  G
) )
27 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 simp12 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
29 simp13 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
30 simp22 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
31 simp21 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
32 simp23 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  R  e.  A )
33 simp31l 1078 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
34 simp31r 1079 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  S  =/=  T )
3534necomd 2530 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  T  =/=  S )
3633, 35jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  T  =/=  S ) )
37 simp32r 1081 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
38 simp32l 1080 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3937, 38jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
40 simp33l 1082 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
41 simp33r 1083 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( S  .\/  T
) )
429, 11hlatjcom 28836 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  =  ( T 
.\/  S ) )
431, 7, 18, 42syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( S  .\/  T )  =  ( T  .\/  S
) )
4441, 43breqtrd 4048 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( T  .\/  S
) )
4540, 44jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( T  .\/  S ) ) )
468, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 14, 25, 24cdleme19d 29774 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  T  =/=  S )  /\  ( -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( T 
.\/  S ) ) ) )  ->  ( G  .\/  Y )  =  ( G  .\/  F
) )
4727, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 39, 45, 46syl333anc 1214 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( G  .\/  Y )  =  ( G  .\/  F
) )
4823, 26, 473eqtr4d 2326 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  D )  =  ( G  .\/  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   lecple 13211   joincjn 14074   meetcmee 14075   Latclat 14147   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452
This theorem is referenced by:  cdleme19f  29776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456
  Copyright terms: Public domain W3C validator