Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20d Unicode version

Theorem cdleme20d 31123
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, second line.  D,  F,  Y,  G represent s2, f(s), t2, f(t). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme19.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme19.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme19.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme19.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme19.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme19.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme19.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme19.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme19.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme20.v  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme20d  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  ./\  ( D  .\/  Y ) )  =  V )

Proof of Theorem cdleme20d
StepHypRef Expression
1 simp11l 1066 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hlol 30173 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  OL )
4 hllat 30175 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp11r 1067 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  H )
7 simp12l 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
8 simp13l 1070 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
9 simp21l 1072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  A )
10 cdleme19.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 cdleme19.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 cdleme19.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
13 cdleme19.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
14 cdleme19.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 cdleme19.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
16 cdleme19.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
17 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme1b 31037 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
191, 6, 7, 8, 9, 18syl23anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
20 simp22l 1074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  T  e.  A )
21 cdleme19.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2210, 11, 12, 13, 14, 15, 21, 17cdleme1b 31037 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
231, 6, 7, 8, 20, 22syl23anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
2417, 11latjcl 14172 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  G  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  ( Base `  K
) )
255, 19, 23, 24syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F  .\/  G
)  e.  ( Base `  K ) )
2617, 14lhpbase 30809 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
276, 26syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
28 simp23l 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  e.  A )
2917, 11, 13hlatjcl 30178 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
301, 28, 9, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
3117, 13atbase 30101 . . . . 5  |-  ( T  e.  A  ->  T  e.  ( Base `  K
) )
3220, 31syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  T  e.  ( Base `  K ) )
3317, 11latjcl 14172 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  T  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  .\/  T )  e.  ( Base `  K ) )
345, 30, 32, 33syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  .\/  T )  e.  ( Base `  K
) )
3517, 12latmassOLD 30041 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F  .\/  G )  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( F  .\/  G ) 
./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  =  ( ( F  .\/  G ) 
./\  ( W  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) ) )
363, 25, 27, 34, 35syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( F 
.\/  G )  ./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  =  ( ( F  .\/  G
)  ./\  ( W  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) ) )
3710, 11, 13hlatlej2 30187 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  S  .<_  ( R  .\/  S ) )
381, 28, 9, 37syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  .<_  ( R  .\/  S ) )
3917, 13atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
409, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
4117, 10, 11latjlej1 14187 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  T  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( S  .<_  ( R  .\/  S )  ->  ( S  .\/  T )  .<_  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  T ) ) )
425, 40, 30, 32, 41syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  .<_  ( R 
.\/  S )  -> 
( S  .\/  T
)  .<_  ( ( R 
.\/  S )  .\/  T ) ) )
4338, 42mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  .\/  T
)  .<_  ( ( R 
.\/  S )  .\/  T ) )
4417, 11, 13hlatjcl 30178 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
451, 9, 20, 44syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
4617, 10, 12latleeqm1 14201 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  T )  <->  ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  =  ( S 
.\/  T ) ) )
475, 45, 34, 46syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  T )  <->  ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  =  ( S 
.\/  T ) ) )
4843, 47mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  =  ( S  .\/  T ) )
4948oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  ./\  W )  =  ( ( S 
.\/  T )  ./\  W ) )
50 cdleme20.v . . . 4  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
5149, 50syl6reqr 2347 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  V  =  ( (
( S  .\/  T
)  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  ./\  W
) )
5217, 12latm32 30043 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  ./\  W
)  =  ( ( ( S  .\/  T
)  ./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
533, 45, 34, 27, 52syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  ./\  W )  =  ( ( ( S  .\/  T ) 
./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
54 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
55 simp21 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
56 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
57 simp31 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T
) )
58 simp32l 1080 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
59 simp32r 1081 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
6010, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21cdleme16 31096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  =  ( ( F  .\/  G ) 
./\  W ) )
6154, 55, 56, 57, 58, 59, 60syl132anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( S  .\/  T )  ./\  W )  =  ( ( F 
.\/  G )  ./\  W ) )
6261oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  =  ( ( ( F  .\/  G )  ./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
6353, 62eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) )  ./\  W )  =  ( ( ( F  .\/  G ) 
./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
6451, 63eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  V  =  ( (
( F  .\/  G
)  ./\  W )  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
65 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
66 simp33 993 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
67 cdleme19.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
68 cdleme19.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
6910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 67, 68, 50cdleme20c 31122 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  T  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( D  .\/  Y )  =  ( ( ( R 
.\/  S )  .\/  T )  ./\  W )
)
701, 6, 65, 55, 20, 58, 66, 69syl232anc 1209 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .\/  Y
)  =  ( ( ( R  .\/  S
)  .\/  T )  ./\  W ) )
7117, 12latmcom 14197 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( R  .\/  S
)  .\/  T )  ./\  W )  =  ( W  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
725, 34, 27, 71syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( R 
.\/  S )  .\/  T )  ./\  W )  =  ( W  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) )
7370, 72eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .\/  Y
)  =  ( W 
./\  ( ( R 
.\/  S )  .\/  T ) ) )
7473oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  ./\  ( D  .\/  Y ) )  =  ( ( F  .\/  G )  ./\  ( W  ./\  ( ( R  .\/  S )  .\/  T ) ) ) )
7536, 64, 743eqtr4rd 2339 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .\/  G )  ./\  ( D  .\/  Y ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   OLcol 29986   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme20e  31124  cdleme20j  31129  cdleme20l2  31132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator