Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20i Unicode version

Theorem cdleme20i 30506
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, antepenultimate line.  D,  F,  Y,  G represent s2, f(s), t2, f(t). We show (f(s)  \/ s2)  /\ (f(t)  \/ t2)  <_ p  \/ q. (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme19.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme19.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme19.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme19.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme19.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme19.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme19.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme19.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme19.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme20.v  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme20i  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdleme20i
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp22 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
3 simp23 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
4 simp21 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp31 991 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )
6 simp321 1105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 simp322 1106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
86, 7jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
9 simp323 1107 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
105, 8, 93jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
11 cdleme19.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 cdleme19.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 cdleme19.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
14 cdleme19.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 cdleme19.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
16 cdleme19.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
17 cdleme19.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
18 cdleme19.g . . . 4  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
19 cdleme19.d . . . 4  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
20 cdleme19.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
21 cdleme20.v . . . 4  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
2211, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme20f 30503 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( ( ( D 
.\/  S )  ./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  ( ( S  .\/  F ) 
./\  ( T  .\/  G ) ) ) )
231, 2, 3, 4, 10, 22syl131anc 1195 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( (
( D  .\/  S
)  ./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  ( ( S  .\/  F )  ./\  ( T  .\/  G ) ) ) )
2411, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme20h 30505 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( S  .\/  R ) 
./\  ( T  .\/  R ) )  .\/  (
( S  .\/  U
)  ./\  ( T  .\/  U ) ) )  =  ( R  .\/  U ) )
2511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme20g 30504 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( D 
.\/  S )  ./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  ( ( S  .\/  F ) 
./\  ( T  .\/  G ) ) )  =  ( ( ( S 
.\/  R )  ./\  ( T  .\/  R ) )  .\/  ( ( S  .\/  U ) 
./\  ( T  .\/  U ) ) ) )
261, 2, 3, 4, 10, 25syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( D  .\/  S ) 
./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  (
( S  .\/  F
)  ./\  ( T  .\/  G ) ) )  =  ( ( ( S  .\/  R ) 
./\  ( T  .\/  R ) )  .\/  (
( S  .\/  U
)  ./\  ( T  .\/  U ) ) ) )
27 simp11 985 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 simp12l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
29 simp13l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
3011, 12, 13, 14, 15, 16cdleme4 30427 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
3127, 28, 29, 4, 9, 30syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
3224, 26, 313eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( D  .\/  S ) 
./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  (
( S  .\/  F
)  ./\  ( T  .\/  G ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
3323, 32breqtrd 4047 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  cdleme20l  30511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177
  Copyright terms: Public domain W3C validator