Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20i Unicode version

Theorem cdleme20i 29773
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, antepenultimate line.  D,  F,  Y,  G represent s2, f(s), t2, f(t). We show (f(s)  \/ s2)  /\ (f(t)  \/ t2)  <_ p  \/ q. (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme19.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme19.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme19.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme19.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme19.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme19.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme19.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme19.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme19.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme20.v  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme20i  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdleme20i
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp22 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
3 simp23 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
4 simp21 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp31 993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )
6 simp321 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 simp322 1108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
86, 7jca 520 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
9 simp323 1109 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
105, 8, 93jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( P  =/=  Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
11 cdleme19.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 cdleme19.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 cdleme19.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
14 cdleme19.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 cdleme19.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
16 cdleme19.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
17 cdleme19.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
18 cdleme19.g . . . 4  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
19 cdleme19.d . . . 4  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
20 cdleme19.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
21 cdleme20.v . . . 4  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
2211, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme20f 29770 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( ( ( D 
.\/  S )  ./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  ( ( S  .\/  F ) 
./\  ( T  .\/  G ) ) ) )
231, 2, 3, 4, 10, 22syl131anc 1197 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( (
( D  .\/  S
)  ./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  ( ( S  .\/  F )  ./\  ( T  .\/  G ) ) ) )
2411, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme20h 29772 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( S  .\/  R ) 
./\  ( T  .\/  R ) )  .\/  (
( S  .\/  U
)  ./\  ( T  .\/  U ) ) )  =  ( R  .\/  U ) )
2511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme20g 29771 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( D 
.\/  S )  ./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  ( ( S  .\/  F ) 
./\  ( T  .\/  G ) ) )  =  ( ( ( S 
.\/  R )  ./\  ( T  .\/  R ) )  .\/  ( ( S  .\/  U ) 
./\  ( T  .\/  U ) ) ) )
261, 2, 3, 4, 10, 25syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( D  .\/  S ) 
./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  (
( S  .\/  F
)  ./\  ( T  .\/  G ) ) )  =  ( ( ( S  .\/  R ) 
./\  ( T  .\/  R ) )  .\/  (
( S  .\/  U
)  ./\  ( T  .\/  U ) ) ) )
27 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 simp12l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
29 simp13l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
3011, 12, 13, 14, 15, 16cdleme4 29694 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
3127, 28, 29, 4, 9, 30syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
3224, 26, 313eqtr4d 2326 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( ( D  .\/  S ) 
./\  ( Y  .\/  T ) )  .\/  (
( S  .\/  F
)  ./\  ( T  .\/  G ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
3323, 32breqtrd 4048 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   lecple 13209   joincjn 14072   meetcmee 14073   Atomscatm 28720   HLchlt 28807   LHypclh 29440
This theorem is referenced by:  cdleme20l  29778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444
  Copyright terms: Public domain W3C validator