Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21ct Unicode version

Theorem cdleme21ct 29786
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme21.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme21.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme21.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme21.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme21.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme21ct  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( T  .\/  z ) )

Proof of Theorem cdleme21ct
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  Q  e.  A )
4 simp21l 1074 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  S  e.  A )
5 simp231 1101 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  P  =/=  Q )
6 simp232 1102 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 simp3ll 1028 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  z  e.  A )
8 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z
) )
9 cdleme21.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdleme21.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 cdleme21.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
12 cdleme21.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdleme21.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdleme21.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
159, 10, 11, 12, 13, 14cdleme21c 29784 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( S  .\/  z ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15syl332anc 1215 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( S  .\/  z ) )
17 simp233 1103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  U  .<_  ( S  .\/  T
) )
18 simp11l 1068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  K  e.  HL )
19 hlcvl 28817 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
21 simp11r 1069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  W  e.  H )
22 simp12l 1070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  P  e.  A )
23 simp12r 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  P  .<_  W )
249, 10, 11, 12, 13, 14cdleme0a 29668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
2518, 21, 22, 23, 3, 5, 24syl222anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  U  e.  A )
26 simp22l 1076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  T  e.  A )
27 hllat 28821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2818, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3029, 10, 12hlatjcl 28824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3118, 22, 3, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
3229, 13lhpbase 29455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3321, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3429, 9, 11latmle2 14178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
3528, 31, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  .<_  W )
3614, 35syl5eqbr 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  U  .<_  W )
37 simp21r 1075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
38 nbrne2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  .<_  W  /\  -.  S  .<_  W )  ->  U  =/=  S
)
3936, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  U  =/=  S )
40 simp22r 1077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
41 nbrne2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  .<_  W  /\  -.  T  .<_  W )  ->  U  =/=  T
)
4236, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  U  =/=  T )
439, 10, 12cvlatexch3 28796 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( U  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  =/=  S  /\  U  =/=  T
) )  ->  ( U  .<_  ( S  .\/  T )  ->  ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  T ) ) )
4420, 25, 4, 26, 39, 42, 43syl132anc 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( U  .<_  ( S  .\/  T )  ->  ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  T ) ) )
4517, 44mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  T
) )
4645adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  /\  U  .<_  ( T  .\/  z
) )  ->  ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  T
) )
47 simp3lr 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
48 nbrne2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  .<_  W  /\  -.  z  .<_  W )  ->  U  =/=  z
)
4936, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  U  =/=  z )
509, 10, 12cvlatexch3 28796 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( U  e.  A  /\  T  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( U  =/=  T  /\  U  =/=  z
) )  ->  ( U  .<_  ( T  .\/  z )  ->  ( U  .\/  T )  =  ( U  .\/  z
) ) )
5120, 25, 26, 7, 42, 49, 50syl132anc 1202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( U  .<_  ( T  .\/  z )  ->  ( U  .\/  T )  =  ( U  .\/  z
) ) )
5251imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  /\  U  .<_  ( T  .\/  z
) )  ->  ( U  .\/  T )  =  ( U  .\/  z
) )
5346, 52eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  /\  U  .<_  ( T  .\/  z
) )  ->  ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  z
) )
5453ex 425 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( U  .<_  ( T  .\/  z )  ->  ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  z
) ) )
559, 10, 12hlatlej2 28833 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  S  .<_  ( U  .\/  S ) )
5618, 25, 4, 55syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  S  .<_  ( U  .\/  S
) )
57 breq2 4029 . . . 4  |-  ( ( U  .\/  S )  =  ( U  .\/  z )  ->  ( S  .<_  ( U  .\/  S )  <->  S  .<_  ( U 
.\/  z ) ) )
5856, 57syl5ibcom 213 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  (
( U  .\/  S
)  =  ( U 
.\/  z )  ->  S  .<_  ( U  .\/  z ) ) )
599, 10, 12cdleme21a 29782 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( P 
.\/  z )  =  ( S  .\/  z
) ) )  ->  S  =/=  z )
6018, 22, 3, 4, 6, 7, 8, 59syl322anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  S  =/=  z )
619, 10, 12cvlatexch2 28795 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( S  e.  A  /\  U  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  S  =/=  z
)  ->  ( S  .<_  ( U  .\/  z
)  ->  U  .<_  ( S  .\/  z ) ) )
6220, 4, 25, 7, 60, 61syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( S  .<_  ( U  .\/  z )  ->  U  .<_  ( S  .\/  z
) ) )
6354, 58, 623syld 53 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  ( U  .<_  ( T  .\/  z )  ->  U  .<_  ( S  .\/  z
) ) )
6416, 63mtod 170 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( T  .\/  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143   lecple 13210   joincjn 14073   meetcmee 14074   Latclat 14146   Atomscatm 28721   CvLatclc 28723   HLchlt 28808   LHypclh 29441
This theorem is referenced by:  cdleme21e  29788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14075  df-plt 14087  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-p0 14140  df-p1 14141  df-lat 14147  df-clat 14209  df-oposet 28634  df-ol 28636  df-oml 28637  df-covers 28724  df-ats 28725  df-atl 28756  df-cvlat 28780  df-hlat 28809  df-lhyp 29445
  Copyright terms: Public domain W3C validator