Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21d Unicode version

Theorem cdleme21d 29786
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 115, 3rd line.  D,  F,  N,  E,  B,  Z represent s2, f(s), fs(r), z2, f(z), fz(r) respectively. We prove fs(r) = fz(r). (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme21.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme21.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme21.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme21.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme21.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme21.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme21.b  |-  B  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme21.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme21.e  |-  E  =  ( ( R  .\/  z )  ./\  W
)
cdleme21d.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
cdleme21d.z  |-  Z  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( B  .\/  E ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme21d  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  N  =  Z )

Proof of Theorem cdleme21d
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 988 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 989 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp2l 983 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp2r 984 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
6 simp33l 1084 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
7 simp31 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
8 simp11l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
9 simp12l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  P  e.  A )
10 simp13l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
11 simp2rl 1026 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  S  e.  A )
12 simp32l 1082 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
136simpld 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
z  e.  A )
14 simp33r 1085 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  .\/  z
)  =  ( S 
.\/  z ) )
15 cdleme21.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
16 cdleme21.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
17 cdleme21.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1815, 16, 17cdleme21a 29781 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( P 
.\/  z )  =  ( S  .\/  z
) ) )  ->  S  =/=  z )
198, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 18syl322anc 1212 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  S  =/=  z )
207, 19jca 520 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  S  =/=  z
) )
2115, 16, 17cdleme21b 29782 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( P 
.\/  z )  =  ( S  .\/  z
) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
228, 9, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 21syl332anc 1215 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
23 simp32r 1083 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2412, 22, 233jca 1134 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
25 cdleme21.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
26 cdleme21.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
27 cdleme21.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
2815, 16, 25, 17, 26, 27cdleme21c 29783 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( S  .\/  z ) )
291, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 28syl332anc 1215 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( S 
.\/  z ) )
30 cdleme21.f . . 3  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
31 cdleme21.b . . 3  |-  B  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
32 cdleme21.d . . 3  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
33 cdleme21.e . . 3  |-  E  =  ( ( R  .\/  z )  ./\  W
)
34 eqid 2284 . . 3  |-  ( ( S  .\/  z ) 
./\  W )  =  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
)
35 cdleme21d.n . . 3  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
36 cdleme21d.z . . 3  |-  Z  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( B  .\/  E ) )
3715, 16, 25, 17, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36cdleme20 29780 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  z )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  z ) ) )  ->  N  =  Z )
381, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 24, 29, 37syl333anc 1216 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  N  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   lecple 13209   joincjn 14072   meetcmee 14073   Atomscatm 28720   HLchlt 28807   LHypclh 29440
This theorem is referenced by:  cdleme21f  29788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444
  Copyright terms: Public domain W3C validator