Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21e Unicode version

Theorem cdleme21e 30817
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 115, 3rd line.  Y,  G,  O,  E,  B,  Z represent s2, f(s), fs(r), z2, f(z), fz(r) respectively. We prove that if u  <_ s  \/ z, then ft(r) = fz(r). (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme21.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme21.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme21.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme21.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme21.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme21.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme21.b  |-  B  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme21.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme21.e  |-  E  =  ( ( R  .\/  z )  ./\  W
)
cdleme21d.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
cdleme21d.z  |-  Z  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( B  .\/  E ) )
cdleme21.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme21.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme21.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme21e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  O  =  Z )

Proof of Theorem cdleme21e
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 988 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 989 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp31 993 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp22 991 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
6 simp33l 1084 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
7 simp231 1101 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
8 simp13l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
9 simp21l 1074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  S  e.  A )
10 simp232 1102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
119, 7, 103jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
12 simp32r 1083 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  U  .<_  ( S  .\/  T ) )
136simpld 446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
z  e.  A )
14 simp33r 1085 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  .\/  z
)  =  ( S 
.\/  z ) )
15 cdleme21.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
16 cdleme21.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
17 cdleme21.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
18 cdleme21.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
19 cdleme21.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
20 cdleme21.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
2115, 16, 17, 18, 19, 20cdleme21at 30814 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  T  =/=  z
)
221, 2, 8, 11, 12, 13, 14, 21syl322anc 1212 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  T  =/=  z )
237, 22jca 519 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  T  =/=  z
) )
24 simp233 1103 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
25 simp11l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
26 simp12l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  P  e.  A )
2715, 16, 18cdleme21b 30812 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( P 
.\/  z )  =  ( S  .\/  z
) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
2825, 26, 8, 9, 7, 10, 13, 14, 27syl332anc 1215 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
29 simp32l 1082 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3024, 28, 293jca 1134 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
31 simp21 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
327, 10, 123jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
3315, 16, 17, 18, 19, 20cdleme21ct 30815 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  /\  (
( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( T  .\/  z ) )
341, 2, 8, 31, 5, 32, 6, 14, 33syl332anc 1215 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( T 
.\/  z ) )
35 cdleme21.g . . 3  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
36 cdleme21.b . . 3  |-  B  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
37 cdleme21.y . . 3  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
38 cdleme21.e . . 3  |-  E  =  ( ( R  .\/  z )  ./\  W
)
39 eqid 2408 . . 3  |-  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W )  =  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
)
40 cdleme21.o . . 3  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
41 cdleme21d.z . . 3  |-  Z  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( B  .\/  E ) )
4215, 16, 17, 18, 19, 20, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41cdleme20 30810 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  T  =/=  z )  /\  ( -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  -.  U  .<_  ( T  .\/  z ) ) )  ->  O  =  Z )
431, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 30, 34, 42syl333anc 1216 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W )  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) ) )  ->  O  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   lecple 13495   joincjn 14360   meetcmee 14361   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470
This theorem is referenced by:  cdleme21f  30818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474
  Copyright terms: Public domain W3C validator