Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21i Unicode version

Theorem cdleme21i 30821
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme21.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme21.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme21.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme21.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme21.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme21.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme21g.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme21g.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme21g.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme21g.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
cdleme21g.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme21i  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P 
.\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) )  ->  N  =  O ) )
Distinct variable groups:    A, r    F, r    G, r    H, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    ./\ , r    P, r    Q, r    R, r    S, r    T, r    W, r
Allowed substitution hints:    D( r)    U( r)    N( r)    O( r)    Y( r)

Proof of Theorem cdleme21i
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl11 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21l 1074 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  S  e.  A )
52, 3, 43jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  S  e.  A
) )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  S  e.  A
) )
7 simp231 1101 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
9 simp232 1102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )
12 cdleme21.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme21.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme21.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 cdleme21.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1612, 13, 14, 154atexlem7 30561 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )
171, 6, 8, 10, 11, 16syl113anc 1196 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z ) ) )
1817ex 424 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P 
.\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P  .\/  z )  =  ( S  .\/  z
) ) ) )
19 cdleme21.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
20 cdleme21.u . . 3  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
21 cdleme21.f . . 3  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
22 cdleme21g.g . . 3  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
23 cdleme21g.d . . 3  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
24 cdleme21g.y . . 3  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
25 cdleme21g.n . . 3  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
26 cdleme21g.o . . 3  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
2712, 13, 19, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme21h 30820 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( -.  z  .<_  W  /\  ( P 
.\/  z )  =  ( S  .\/  z
) )  ->  N  =  O ) )
2818, 27syld 42 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P 
.\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) )  ->  N  =  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   E.wrex 2671   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   lecple 13495   joincjn 14360   meetcmee 14361   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470
This theorem is referenced by:  cdleme21j  30822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474
  Copyright terms: Public domain W3C validator