Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22f2 Unicode version

Theorem cdleme22f2 29666
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme22f 29665 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme22.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme22.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme22.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme22.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme22f2.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme22f2.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme22f2.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme22f2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) )

Proof of Theorem cdleme22f2
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 986 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp2r 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
41, 2, 33jca 1137 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
5 simp12 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
6 simp31l 1083 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A )
7 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
8 simp32l 1085 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  =/=  T )
98necomd 2502 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  =/=  S )
10 simp32r 1086 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( T  .\/  V ) )
11 simp11l 1071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
12 hlcvl 28679 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  CvLat
)
14 simp12l 1073 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A )
15 simp33l 1087 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
16 simp33r 1088 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  .<_  W )
17 simp31r 1084 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
18 nbrne2 3981 . . . . . . 7  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  S  .<_  W )  ->  V  =/=  S
)
1918necomd 2502 . . . . . 6  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  S  .<_  W )  ->  S  =/=  V
)
2016, 17, 19syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  =/=  V )
21 cdleme22.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
22 cdleme22.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
23 cdleme22.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2421, 22, 23cvlatexch2 28657 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  S  =/=  V
)  ->  ( S  .<_  ( T  .\/  V
)  ->  T  .<_  ( S  .\/  V ) ) )
2513, 6, 14, 15, 20, 24syl131anc 1200 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  .<_  ( T  .\/  V
)  ->  T  .<_  ( S  .\/  V ) ) )
2610, 25mpd 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( S  .\/  V ) )
27 cdleme22.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
28 cdleme22.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
29 cdleme22f2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
30 cdleme22f2.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
31 cdleme22f2.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  S )  ./\  W )
) )
3221, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme22f 29665 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  ( T  =/= 
S  /\  T  .<_  ( S  .\/  V ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V
) )
334, 5, 6, 7, 9, 26, 32syl132anc 1205 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V ) )
34 simp31 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
35 simp133 1097 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
36 simp132 1096 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 simp131 1095 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
3821, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme7ga 29567 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  N  e.  A )
394, 5, 34, 35, 36, 37, 38syl123anc 1204 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  e.  A )
4021, 22, 27, 23, 28, 29, 30cdleme3fa 29555 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
411, 2, 3, 34, 35, 37, 40syl132anc 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  e.  A )
4221, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme7 29568 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  N  .<_  W )
434, 5, 34, 35, 36, 37, 42syl123anc 1204 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  N  .<_  W )
44 nbrne2 3981 . . . . 5  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  N  .<_  W )  ->  V  =/=  N
)
4544necomd 2502 . . . 4  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  N  .<_  W )  ->  N  =/=  V
)
4616, 43, 45syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  =/=  V )
4721, 22, 23cvlatexch2 28657 . . 3  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( N  e.  A  /\  F  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  N  =/=  V
)  ->  ( N  .<_  ( F  .\/  V
)  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) ) )
4813, 39, 41, 15, 46, 47syl131anc 1200 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( N  .<_  ( F  .\/  V
)  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) ) )
4933, 48mpd 16 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   lecple 13142   joincjn 14005   meetcmee 14006   Atomscatm 28583   CvLatclc 28585   HLchlt 28670   LHypclh 29303
This theorem is referenced by:  cdleme26f2ALTN  29683  cdleme26f2  29684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator