Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22g Unicode version

Theorem cdleme22g 31159
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115.  F,  G represent f(s), f(t) respectively. If s  <_ t  \/ v and  -. s  <_ p  \/ q, then f(s)  <_ f(t)  \/ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme22.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme22.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme22.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme22.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme22g.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme22g.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme22g.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme22g  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( G  .\/  V ) )

Proof of Theorem cdleme22g
StepHypRef Expression
1 simp11l 1066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30175 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
6 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
7 simp31 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
8 simp133 1092 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
9 simp132 1091 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
10 cdleme22.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 cdleme22.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 cdleme22.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
13 cdleme22.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
14 cdleme22.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 cdleme22g.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
16 cdleme22g.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme3fa 31047 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
184, 5, 6, 7, 8, 9, 17syl132anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  e.  A )
19 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
20 simp131 1090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
21 cdleme22g.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2210, 11, 12, 13, 14, 15, 21cdleme3fa 31047 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  A )
234, 5, 6, 19, 8, 20, 22syl132anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  e.  A )
24 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2524, 11, 13hlatjcl 30178 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( F  .\/  G
)  e.  ( Base `  K ) )
261, 18, 23, 25syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)
27 simp11r 1067 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
2824, 14lhpbase 30809 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3024, 10, 12latmle1 14198 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  .\/  G )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( F  .\/  G )  ./\  W )  .<_  ( F  .\/  G ) )
313, 26, 29, 30syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F  .\/  G )  ./\  W )  .<_  ( F  .\/  G ) )
32 simp33 993 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
33 simp32 992 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V ) ) )
3410, 11, 12, 13, 14cdleme22d 31154 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) ) )  ->  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) )
354, 7, 19, 32, 33, 34syl131anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
)
36 simp32l 1080 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  =/=  T )
378, 36jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  S  =/= 
T ) )
3810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21cdleme16 31096 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  =  ( ( F  .\/  G ) 
./\  W ) )
394, 5, 6, 7, 19, 37, 9, 20, 38syl332anc 1213 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  =  ( ( F  .\/  G ) 
./\  W ) )
4035, 39eqtr2d 2329 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F  .\/  G )  ./\  W )  =  V )
4111, 13hlatjcom 30179 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( F  .\/  G
)  =  ( G 
.\/  F ) )
421, 18, 23, 41syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  =  ( G  .\/  F ) )
4331, 40, 423brtr3d 4068 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  .<_  ( G  .\/  F ) )
44 hlcvl 30171 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
451, 44syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  CvLat
)
46 simp33l 1082 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
47 simp33r 1083 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  .<_  W )
4810, 11, 12, 13, 14, 15, 21cdleme3 31048 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  G  .<_  W )
494, 5, 6, 19, 8, 20, 48syl132anc 1200 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  G  .<_  W )
50 nbrne2 4057 . . . 4  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  G  .<_  W )  ->  V  =/=  G
)
5147, 49, 50syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  =/=  G )
5210, 11, 13cvlatexch1 30148 . . 3  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( V  e.  A  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  V  =/=  G
)  ->  ( V  .<_  ( G  .\/  F
)  ->  F  .<_  ( G  .\/  V ) ) )
5345, 46, 18, 23, 51, 52syl131anc 1195 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  .<_  ( G  .\/  F
)  ->  F  .<_  ( G  .\/  V ) ) )
5443, 53mpd 14 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  P  =/=  Q ) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( G  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   CvLatclc 30077   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme27a  31178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator