Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26e Unicode version

Theorem cdleme26e 29237
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 2-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26e.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26e.f  |-  F  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme26e.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( E 
.\/  V ) )
Distinct variable groups:    z, u, A    z, B, u    z, H    z,  .\/ , u    z, K   
z,  .<_ , u    z,  ./\ , u    u, N    u, O    z, P, u    z, Q, u   
z, S, u    z, T, u    z, U, u   
z, W, u
Allowed substitution hints:    E( z, u)    F( z, u)    H( u)    I( z, u)    K( u)    N( z)    O( z)    V( z, u)

Proof of Theorem cdleme26e
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21l 1077 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A
)
5 simp22l 1079 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A
)
64, 5jca 520 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )
7 simp23 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
8 simp311 1107 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
9 simp32l 1085 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )
108, 9jca 520 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
11 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
12 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme26e.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme26e.f . . . 4  |-  F  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
19 cdleme26e.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
) ) )
20 cdleme26e.o . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdleme22e 29222 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V
) )
221, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 21syl133anc 1210 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( O 
.\/  V ) )
23 simp21r 1078 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
24 simp312 1108 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
25 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
26 cdleme26e.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
2725, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 26cdleme25cl 29235 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
281, 2, 3, 4, 23, 8, 24, 27syl322anc 1215 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  e.  B
)
29 simp33l 1087 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  z  e.  A
)
30 simp33r 1088 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
31 simp32r 1086 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3230, 31jca 520 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
33 fvex 5391 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3425, 33eqeltri 2323 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3534, 26riotasv 6238 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
3628, 29, 32, 35syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  =  N )
37 simp22r 1080 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
38 simp313 1109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
39 cdleme26e.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
4025, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 39cdleme25cl 29235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
411, 2, 3, 5, 37, 8, 38, 40syl322anc 1215 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  E  e.  B
)
4234, 39riotasv 6238 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
4341, 29, 32, 42syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  E  =  O )
4443oveq1d 5725 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O 
.\/  V ) )
4522, 36, 443brtr4d 3950 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( E 
.\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   _Vcvv 2727   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   iota_crio 6181   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   meetcmee 13923   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   LHypclh 28862
This theorem is referenced by:  cdleme26ee  29238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866
  Copyright terms: Public domain W3C validator