Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26e Unicode version

Theorem cdleme26e 30617
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 2-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26e.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26e.f  |-  F  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme26e.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( E 
.\/  V ) )
Distinct variable groups:    z, u, A    z, B, u    z, H    z,  .\/ , u    z, K   
z,  .<_ , u    z,  ./\ , u    u, N    u, O    z, P, u    z, Q, u   
z, S, u    z, T, u    z, U, u   
z, W, u
Allowed substitution hints:    E( z, u)    F( z, u)    H( u)    I( z, u)    K( u)    N( z)    O( z)    V( z, u)

Proof of Theorem cdleme26e
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A
)
5 simp22l 1074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A
)
64, 5jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )
7 simp23 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
8 simp311 1102 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
9 simp32l 1080 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )
108, 9jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
11 simp33 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
12 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme26e.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme26e.f . . . 4  |-  F  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
19 cdleme26e.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
) ) )
20 cdleme26e.o . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdleme22e 30602 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V
) )
221, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 21syl133anc 1205 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( O 
.\/  V ) )
23 simp21r 1073 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
24 simp312 1103 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
25 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
26 cdleme26e.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
2725, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 26cdleme25cl 30615 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
281, 2, 3, 4, 23, 8, 24, 27syl322anc 1210 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  e.  B
)
29 simp33l 1082 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  z  e.  A
)
30 simp33r 1083 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
31 simp32r 1081 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3230, 31jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
33 fvex 5622 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3425, 33eqeltri 2428 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3534, 26riotasv 6439 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
3628, 29, 32, 35syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  =  N )
37 simp22r 1075 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
38 simp313 1104 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
39 cdleme26e.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
4025, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 39cdleme25cl 30615 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
411, 2, 3, 5, 37, 8, 38, 40syl322anc 1210 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  E  e.  B
)
4234, 39riotasv 6439 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
4341, 29, 32, 42syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  E  =  O )
4443oveq1d 5960 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O 
.\/  V ) )
4522, 36, 443brtr4d 4134 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( E 
.\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   _Vcvv 2864   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   iota_crio 6384   Basecbs 13245   lecple 13312   joincjn 14177   meetcmee 14178   Atomscatm 29522   HLchlt 29609   LHypclh 30242
This theorem is referenced by:  cdleme26ee  30618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-undef 6385  df-riota 6391  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-p1 14245  df-lat 14251  df-clat 14313  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758  df-lines 29759  df-psubsp 29761  df-pmap 29762  df-padd 30054  df-lhyp 30246
  Copyright terms: Public domain W3C validator