Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26eALTN Unicode version

Theorem cdleme26eALTN 30847
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26eALT.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26eALT.f  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.g  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. y  e.  A  ( ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme26eALT.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26eALTN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  .<_  ( E  .\/  V
) )
Distinct variable groups:    y, z, u, A    y, B, z, u    y, H, z   
y,  .\/ , z, u    y, K, z    y,  .<_ , z, u    y,  ./\ , z, u    u, N    u, O    y, P, z, u    y, Q, z, u    y, S, u    z, T, u   
y, U, z, u   
y, W, z, u
Allowed substitution hints:    S( z)    T( y)    E( y, z, u)    F( y, z, u)    G( y, z, u)    H( u)    I( y, z, u)    K( u)    N( y, z)    O( y, z)    V( y, z, u)

Proof of Theorem cdleme26eALTN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1068 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp11r 1069 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  W  e.  H )
3 simp231 1101 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  T  e.  A )
4 simp12 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5 simp13 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
6 simp21 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7 simp221 1098 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  e.  A )
8 simp31 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) ) )
9 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
y  e.  A )
1093ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  y  e.  A )
11 simp322 1108 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  y  .<_  W )
12 simp31 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
z  e.  A )
13123ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  z  e.  A )
14 simp332 1111 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
1513, 14jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
1610, 11, 15jca31 521 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )
17 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
20 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
21 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
22 cdleme26eALT.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
23 cdleme26eALT.f . . . 4  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
24 cdleme26eALT.g . . . 4  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
25 cdleme26eALT.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
26 cdleme26eALT.o . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
2717, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme22eALTN 30831 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 27syl333anc 1216 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V
) )
29 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp222 1099 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
31 simp223 1100 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
32 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
33 cdleme26eALT.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. y  e.  A  ( ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
3432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 33cdleme25cl 30843 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
3529, 4, 5, 7, 30, 6, 31, 34syl322anc 1212 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  e.  B )
36 simp323 1109 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 fvex 5705 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3832, 37eqeltri 2478 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3938, 33riotasv 6560 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  y  e.  A  /\  ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
4035, 10, 11, 36, 39syl112anc 1188 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  =  N )
41 simp232 1102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
42 simp233 1103 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
43 cdleme26eALT.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
4432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 43cdleme25cl 30843 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
4529, 4, 5, 3, 41, 6, 42, 44syl322anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E  e.  B )
46 simp333 1112 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) )
4738, 43riotasv 6560 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
4845, 13, 14, 46, 47syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E  =  O )
4948oveq1d 6059 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O  .\/  V
) )
5028, 40, 493brtr4d 4206 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  .<_  ( E  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   _Vcvv 2920   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   iota_crio 6505   Basecbs 13428   lecple 13495   joincjn 14360   meetcmee 14361   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474
  Copyright terms: Public domain W3C validator