Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26f2 Unicode version

Theorem cdleme26f2 29684
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme26fALTN 29681 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26f2.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26f2.f  |-  G  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme26f2.n  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme26f2.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26f2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( E  .\/  V ) )
Distinct variable groups:    u, s, A    B, s, u    H, s    .\/ , s, u    K, s   
.<_ , s, u    ./\ , s, u   
u, O    P, s, u    Q, s, u    T, s, u    U, s, u    W, s, u
Allowed substitution hints:    E( u, s)    G( u, s)    H( u)    K( u)    O( s)    V( u, s)

Proof of Theorem cdleme26f2
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp23 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
3 simp31 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
4 simp12r 1074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 simp12l 1073 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
63, 4, 53jca 1137 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )
7 simp21 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8 simp22 994 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
9 simp13 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
10 simp32 997 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) ) )
11 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
12 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme26f2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme26f2.f . . . 4  |-  G  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
19 cdleme26f2.n . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  s )  ./\  W
) ) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme22f2 29666 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( O  .\/  V ) )
211, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20syl323anc 1217 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( O  .\/  V ) )
22 simp23l 1081 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A )
23 simp23r 1082 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
24 cdleme26.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 cdleme26f2.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
2624, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 25cdleme25cl 29676 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
271, 7, 8, 22, 23, 5, 4, 26syl322anc 1215 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  E  e.  B )
28 simp13l 1075 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
29 simp13r 1076 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
30 fvex 5437 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3124, 30eqeltri 2326 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3231, 25riotasv 6285 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
3327, 28, 29, 3, 32syl112anc 1191 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  E  =  O )
3433oveq1d 5772 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O  .\/  V ) )
3521, 34breqtrrd 3989 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( E  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   iota_crio 6228   Basecbs 13075   lecple 13142   joincjn 14005   meetcmee 14006   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   LHypclh 29303
This theorem is referenced by:  cdleme27a  29686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator