Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26f2 Unicode version

Theorem cdleme26f2 30893
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme26fALTN 30890 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26f2.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26f2.f  |-  G  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme26f2.n  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme26f2.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26f2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( E  .\/  V ) )
Distinct variable groups:    u, s, A    B, s, u    H, s    .\/ , s, u    K, s   
.<_ , s, u    ./\ , s, u   
u, O    P, s, u    Q, s, u    T, s, u    U, s, u    W, s, u
Allowed substitution hints:    E( u, s)    G( u, s)    H( u)    K( u)    O( s)    V( u, s)

Proof of Theorem cdleme26f2
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp23 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
3 simp31 993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
4 simp12r 1071 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 simp12l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
63, 4, 53jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )
7 simp21 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8 simp22 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
9 simp13 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
10 simp32 994 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) ) )
11 simp33 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
12 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme26f2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme26f2.f . . . 4  |-  G  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
19 cdleme26f2.n . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  s )  ./\  W
) ) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme22f2 30875 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( O  .\/  V ) )
211, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20syl323anc 1214 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( O  .\/  V ) )
22 simp23l 1078 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A )
23 simp23r 1079 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
24 cdleme26.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 cdleme26f2.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
2624, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 25cdleme25cl 30885 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
271, 7, 8, 22, 23, 5, 4, 26syl322anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  E  e.  B )
28 simp13l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
29 simp13r 1073 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
30 fvex 5728 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3124, 30eqeltri 2500 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3231, 25riotasv 6583 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
3327, 28, 29, 3, 32syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  E  =  O )
3433oveq1d 6082 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O  .\/  V ) )
3521, 34breqtrrd 4225 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( E  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   _Vcvv 2943   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   iota_crio 6528   Basecbs 13452   lecple 13519   joincjn 14384   meetcmee 14385   Atomscatm 29792   HLchlt 29879   LHypclh 30512
This theorem is referenced by:  cdleme27a  30895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-undef 6529  df-riota 6535  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028  df-lines 30029  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516
  Copyright terms: Public domain W3C validator