Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26fALTN Unicode version

Theorem cdleme26fALTN 29702
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115.  F,  N represent f(t), ft(s) respectively. If t  <_ t  \/ v, then ft(s)  <_ f(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26f.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26f.f  |-  F  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme26f.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme26f.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26fALTN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( F 
.\/  V ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, H    t,  .\/ , u    t, K   
t,  .<_ , u    t,  ./\ , u    u, N    t, P, u   
t, Q, u    t, S, u    t, U, u   
t, W, u
Allowed substitution hints:    F( u, t)    H( u)    I( u, t)    K( u)    N( t)    V( u, t)

Proof of Theorem cdleme26fALTN
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp21 993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp22 994 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp23l 1081 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A
)
5 simp23r 1082 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
6 simp12l 1073 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
7 simp12r 1074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
8 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 cdleme26.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdleme26.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 cdleme26.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
12 cdleme26.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdleme26.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdleme26f.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
15 cdleme26f.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
16 cdleme26f.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
17 cdleme26f.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme25cl 29697 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18syl322anc 1215 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  e.  B
)
20 simp13l 1075 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  t  e.  A
)
21 simp31 996 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
22 fvex 5458 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
238, 22eqeltri 2326 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2423, 17riotasv 6306 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
2519, 20, 21, 24syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  =  N )
26 simp23 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
27 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
28 simp32 997 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
299, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme22f 29686 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  t  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V
) )
301, 2, 3, 26, 20, 27, 28, 29syl331anc 1212 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( F 
.\/  V ) )
3125, 30eqbrtrd 4003 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( F 
.\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   _Vcvv 2757   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   iota_crio 6249   Basecbs 13096   lecple 13163   joincjn 14026   meetcmee 14027   Atomscatm 28604   HLchlt 28691   LHypclh 29324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-undef 6250  df-riota 6258  df-poset 14028  df-plt 14040  df-lub 14056  df-glb 14057  df-join 14058  df-meet 14059  df-p0 14093  df-p1 14094  df-lat 14100  df-clat 14162  df-oposet 28517  df-ol 28519  df-oml 28520  df-covers 28607  df-ats 28608  df-atl 28639  df-cvlat 28663  df-hlat 28692  df-llines 28838  df-lplanes 28839  df-lvols 28840  df-lines 28841  df-psubsp 28843  df-pmap 28844  df-padd 29136  df-lhyp 29328
  Copyright terms: Public domain W3C validator