Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26fALTN Unicode version

Theorem cdleme26fALTN 30551
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115.  F,  N represent f(t), ft(s) respectively. If t  <_ t  \/ v, then ft(s)  <_ f(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26f.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26f.f  |-  F  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme26f.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme26f.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26fALTN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( F 
.\/  V ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, H    t,  .\/ , u    t, K   
t,  .<_ , u    t,  ./\ , u    u, N    t, P, u   
t, Q, u    t, S, u    t, U, u   
t, W, u
Allowed substitution hints:    F( u, t)    H( u)    I( u, t)    K( u)    N( t)    V( u, t)

Proof of Theorem cdleme26fALTN
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp21 988 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp22 989 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp23l 1076 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A
)
5 simp23r 1077 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
6 simp12l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
7 simp12r 1069 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
8 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 cdleme26.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdleme26.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 cdleme26.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
12 cdleme26.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdleme26.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdleme26f.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
15 cdleme26f.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
16 cdleme26f.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
17 cdleme26f.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme25cl 30546 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18syl322anc 1210 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  e.  B
)
20 simp13l 1070 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  t  e.  A
)
21 simp31 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
22 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
238, 22eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2423, 17riotasv 6352 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
2519, 20, 21, 24syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  =  N )
26 simp23 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
27 simp33 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
28 simp32 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
299, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme22f 30535 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  t  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V
) )
301, 2, 3, 26, 20, 27, 28, 29syl331anc 1207 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( F 
.\/  V ) )
3125, 30eqbrtrd 4043 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( F 
.\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177
  Copyright terms: Public domain W3C validator