Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27N Structured version   Unicode version

Theorem cdleme27N 31104
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Eliminate the  s  =/=  t antecedent in cdleme27a 31102. (Contributed by NM, 3-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme27.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme27.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme27.z  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.d  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme27.c  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
cdleme27.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme27.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
cdleme27.y  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
Assertion
Ref Expression
cdleme27N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
Distinct variable groups:    t, s, u, z, A    B, s,
t, u, z    u, F    u, G    H, s,
t, z    .\/ , s, t, u, z    K, s, t, z    .<_ , s, t, u, z    ./\ , s,
t, u, z    t, N, u    O, s, u    P, s, t, u, z    Q, s, t, u, z    U, s, t, u, z   
z, V    W, s,
t, u, z
Allowed substitution hints:    C( z, u, t, s)    D( z, u, t, s)    E( z, u, t, s)    F( z, t, s)    G( z, t, s)    H( u)    K( u)    N( z, s)    O( z, t)    V( u, t, s)    Y( z, u, t, s)    Z( z, u, t, s)

Proof of Theorem cdleme27N
StepHypRef Expression
1 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdleme26.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdleme26.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 cdleme26.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 cdleme26.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdleme26.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdleme27.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
8 cdleme27.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
9 cdleme27.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
10 cdleme27.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
11 cdleme27.d . . . . 5  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
12 cdleme27.c . . . . 5  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
13 cdleme27.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
14 cdleme27.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
15 cdleme27.e . . . . 5  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
16 cdleme27.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27b 31103 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  C  =  Y )
1817adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  C  =  Y )
19 simp11l 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
20 hllat 30099 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
22 simp11r 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
23 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
24 simp22 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
25 simp23 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
26 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 9, 14, 15, 16cdleme27cl 31101 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
) )  ->  Y  e.  B )
2819, 22, 23, 24, 25, 26, 27syl222anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  B )
29 simp3rl 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
301, 5atbase 30025 . . . . . 6  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  B )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  B )
321, 2, 3latlej1 14482 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V ) )
3321, 28, 31, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V
) )
3433adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V ) )
3518, 34eqbrtrd 4225 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
36 simpl11 1032 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
37 simpl12 1033 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  P  =/=  Q )
38 simpl13 1034 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
39 simpl21 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
40 simpl22 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
41 simpl23 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
42 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  s  =/=  t )
43 simpl3l 1012 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V
) )
4442, 43jca 519 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
45 simpl3r 1013 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27a 31102 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
4736, 37, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 46syl332anc 1215 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
4835, 47pm2.61dane 2677 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   ifcif 3732   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   iota_crio 6535   Basecbs 13462   lecple 13529   joincjn 14394   meetcmee 14395   Latclat 14467   Atomscatm 29999   HLchlt 30086   LHypclh 30719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-undef 6536  df-riota 6542  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723
  Copyright terms: Public domain W3C validator