Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27N Unicode version

Theorem cdleme27N 29688
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Eliminate the  s  =/=  t antecedent in cdleme27a 29686. (Contributed by NM, 3-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme27.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme27.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme27.z  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.d  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme27.c  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
cdleme27.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme27.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
cdleme27.y  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
Assertion
Ref Expression
cdleme27N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
Distinct variable groups:    t, s, u, z, A    B, s,
t, u, z    u, F    u, G    H, s,
t, z    .\/ , s, t, u, z    K, s, t, z    .<_ , s, t, u, z    ./\ , s,
t, u, z    t, N, u    O, s, u    P, s, t, u, z    Q, s, t, u, z    U, s, t, u, z   
z, V    W, s,
t, u, z
Allowed substitution hints:    C( z, u, t, s)    D( z, u, t, s)    E( z, u, t, s)    F( z, t, s)    G( z, t, s)    H( u)    K( u)    N( z, s)    O( z, t)    V( u, t, s)    Y( z, u, t, s)    Z( z, u, t, s)

Proof of Theorem cdleme27N
StepHypRef Expression
1 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdleme26.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdleme26.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 cdleme26.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 cdleme26.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdleme26.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdleme27.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
8 cdleme27.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
9 cdleme27.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
10 cdleme27.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
11 cdleme27.d . . . . 5  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
12 cdleme27.c . . . . 5  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
13 cdleme27.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
14 cdleme27.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
15 cdleme27.e . . . . 5  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
16 cdleme27.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27b 29687 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  C  =  Y )
1817adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  C  =  Y )
19 simp11l 1071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
20 hllat 28683 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
22 simp11r 1072 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
23 simp21 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
24 simp22 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
25 simp23 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
26 simp12 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 9, 14, 15, 16cdleme27cl 29685 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
) )  ->  Y  e.  B )
2819, 22, 23, 24, 25, 26, 27syl222anc 1203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  B )
29 simp3rl 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
301, 5atbase 28609 . . . . . 6  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  B )
3129, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  B )
321, 2, 3latlej1 14093 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V ) )
3321, 28, 31, 32syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V
) )
3433adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V ) )
3518, 34eqbrtrd 3983 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
36 simpl11 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
37 simpl12 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  P  =/=  Q )
38 simpl13 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
39 simpl21 1038 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
40 simpl22 1039 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
41 simpl23 1040 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
42 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  s  =/=  t )
43 simpl3l 1015 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V
) )
4442, 43jca 520 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
45 simpl3r 1016 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27a 29686 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
4736, 37, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 46syl332anc 1218 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
4835, 47pm2.61dane 2497 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   ifcif 3506   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   iota_crio 6228   Basecbs 13075   lecple 13142   joincjn 14005   meetcmee 14006   Latclat 14078   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   LHypclh 29303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator